2014-北京卷文-19 解-椭圆与垂直

本题导读

$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $A{B}^2=\frac{8}{s}+\frac{s}{2}+4\ge 8$，$AB$ 最小值 $2\sqrt{2}$（$s=4$ 时取等）。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 已知椭圆 $C:x^2+2y^2=4$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率；

(2) 设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在直线 $y=2$ 上，点 $B$ 在椭圆 $C$ 上，且 $OA\perp OB$，求线段 $AB$ 长度的最小值.

🔍【思路分析】

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$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $A{B}^2=\frac{8}{s}+\frac{s}{2}+4\ge 8$，$AB$ 最小值 $2\sqrt{2}$（$s=4$ 时取等）。

✅【答案】

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(1) $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) $AB$ 长度的最小值为 $2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 标准方程 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$：$a^2=4$，$b^2=2$，$c^2=a^2-b^2=2$，

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

(2) 设 $A(u,2)$，$B(x,y)$。$B$ 在椭圆上：$x^2+2y^2=4$。

$OA\perp OB⟺ux+2y=0$。若 $x=0$，则 $y=\pm \sqrt{2}\ne 0$，$ux+2y=2y\ne 0$ 矛盾，故 $x\ne 0$，$u=-\frac{2y}{x}$。

$△AOB$ 为直角三角形，$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2=u^2+4+x^2+y^2$。

$u^2=\frac{4y^2}{x^2}$，令 $s=x^2\in (0,4]$，则 $y^2=\frac{4-s}{2}$：

$A{B}^2=\frac{4y^2}{s}+4+s+y^2=\frac{8}{s}-2+4+s+\frac{4-s}{2}=\frac{8}{s}+\frac{s}{2}+4$。

由基本不等式 $\frac{8}{s}+\frac{s}{2}\ge 2\sqrt{\frac{8}{s}\cdot \frac{s}{2}}=4$，故 $A{B}^2\ge 8$，当且仅当 $\frac{8}{s}=\frac{s}{2}$ 即 $s=4$ 时取等。

$s=4$ 可实现：$B=(2,0)$，由垂直条件 $u=0$，$A=(0,2)$，满足全部题设。

所以 $AB$ 长度的最小值为 $2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程与离心率；向量垂直的坐标表示；基本不等式求最值

2. 核心方法：设点 → 垂直方程消参 → 勾股转化 → 基本不等式（取等回验）

3. 避坑指南：①$x=0$ 的情形要先排除（此时 $u$ 无解），否则后面的代数变形不合法；②基本不等式的取等条件 $s=4$ 必须回代验证几何上可实现（$B=(2,0),A=(0,2)$），“取等不可达”是该类最值题的隐形陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆与垂直综合题，与 2014 年新课标Ⅱ文第 20 题（椭圆离心率）、新课标Ⅰ理第 20 题同族。

2. 结论推广: 一般地，"$OA\perp OB$"直接写点积为零消参；直角三角形中 $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$ 把弦长化成两个模长之和，常比联立直线韦达更省；单变量式 $\frac{A}{s}+Bs$ 型一律基本不等式。

3. 方法推广: 圆锥曲线垂直 + 最值：设点 → 垂直方程消参 → 勾股转化 → 基本不等式，最后验证取等点满足全部约束。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-20 解-椭圆离心率
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质