2014-北京卷理-15 解-正弦定理

本题导读

本题通过三角形中点的连接构造多个三角形，考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的综合应用。第一问侧重于利用外角关系进行角的转化与求值；第二问则通过正弦定理和余弦定理依次求边长。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中，$\angle B=\frac{\pi }{3}$，$AB=8$.点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $CD=2$，$\cos \angle ADC=\frac{1}{7}$.

(1) 求 $\sin \angle BAD$；

(2) 求 $BD,AC$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 寻找角的关系：在 $△ABD$ 中，$\angle ADC$ 是 $△ABD$ 的外角，故有 $\angle ADC=\angle B+\angle BAD$。利用两角差的正弦公式求 $\sin \angle BAD$。
2. 正弦定理求边：在 $△ABD$ 中，已知 $AB,\angle B,\angle ADB$（与 $\angle ADC$ 互补）以及第一问求得的 $\sin \angle BAD$，利用正弦定理求 $BD$。
3. 余弦定理求边：求得 $BD$ 后，可得全边 $BC=BD+CD$。在 $△ABC$ 中利用余弦定理求 $AC$。

✅【答案】

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则 $\sin \angle BAD=\sin (\angle ADC-\frac{\pi }{3})$；故答案为 (1)$\frac{3\sqrt{3}}{14}$；(2)$BD=3,AC=7$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $\sin \angle BAD$ 在 $△ABC$ 中，因为 $\cos \angle ADC=\frac{1}{7}$，且 $\angle ADC\in (0,\pi )$， 所以 $\sin \angle ADC=\sqrt{1-{\cos }^2\angle ADC}=\sqrt{1-(\frac{1}{7}{)}^2}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。 因为 $\angle ADC$ 是 $△ABD$ 的外角， 所以 $\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，即 $\angle BAD=\angle ADC-\angle B$。 则 $\sin \angle BAD=\sin (\angle ADC-\frac{\pi }{3})$ $=\sin \angle ADC\cos \frac{\pi }{3}-\cos \angle ADC\sin \frac{\pi }{3}$ $=\frac{4\sqrt{3}}{7}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。

(2) 求 $BD,AC$ 的长 在 $△ABD$ 中，$\angle ADB=\pi -\angle ADC$，则 $\sin \angle ADB=\sin \angle ADC=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。 由正弦定理 $\frac{BD}{\sin \angle BAD}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}$ 得： $BD=\frac{AB\cdot \sin \angle BAD}{\sin \angle ADB}=\frac{8\times \frac{3\sqrt{3}}{14}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}=3$。

因此 $BC=BD+CD=3+2=5$。 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos B$ $=8^2+5^2-2\times 8\times 5\times \cos \frac{\pi }{3}$ $=64+25-2\times 8\times 5\times \frac{1}{2}=49$。 所以 $AC=7$。

故答案为 (1)$\frac{3\sqrt{3}}{14}$；(2)$BD=3,AC=7$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理与三角恒等变换综合应用。

2. 核心方法：外角关系求 $\sin \angle BAD$，正弦定理求 $BD$，余弦定理求 $AC$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理、余弦定理与两角差的正弦公式。

2. 结论推广: 外角 $\angle ADC=\angle B+\angle BAD$ 的边角转化。

3. 方法推广: 多三角形问题利用公共边角层层求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理