2014-四川卷理-07 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算及夹角性质。核心在于利用夹角相等的条件构造关于参数 $m$ 的代数方程，或通过向量分布的对称性直接判定。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 平面向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(4,2)$，$\vec{c}=m\vec{a}+\vec{b}$ ($m\in \mathbb{R}$)，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 坐标化处理：首先计算 $\vec{c}$ 的坐标，即 $\vec{c}=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2)$。
2. 利用夹角公式：设夹角为 $\theta$，根据 $\cos \theta =\frac{\vec{c}\cdot \vec{a}}{|\vec{c}|\cdot |\vec{a}|}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{b}}{|\vec{c}|\cdot |\vec{b}|}$ 建立方程。
3. 简化计算：两边消去 $|\vec{c}|$，转化为 $\frac{\vec{c}\cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$，这本质上是比较 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 方向上的投影。
4. 几何观察法：观察 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的坐标特征（如模长、关于特定直线的对称性），可快速得出结论。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数运算法

1. 计算基本分量： $\vec{a}=(1,2)⟹|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$. $\vec{b}=(4,2)⟹|\vec{b}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $\vec{c}=(m+4,2m+2)$.
2. 列出等式： 因为夹角相等，所以 $\frac{\vec{c}\cdot \vec{a}}{|\vec{c}|\cdot |\vec{a}|}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{b}}{|\vec{c}|\cdot |\vec{b}|}$. 由于 $|\vec{c}|\ne 0$，消去 $|\vec{c}|$ 得：$\frac{\vec{c}\cdot \vec{a}}{\sqrt{5}}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{b}}{2\sqrt{5}}$. 即：$2(\vec{c}\cdot \vec{a})=\vec{c}\cdot \vec{b}$.
3. 代入坐标计算： $\vec{c}\cdot \vec{a}=(m+4)\cdot 1+(2m+2)\cdot 2=m+4+4m+4=5m+8$. $\vec{c}\cdot \vec{b}=(m+4)\cdot 4+(2m+2)\cdot 2=4m+16+4m+4=8m+20$. 代入方程：$2(5m+8)=8m+20⟹10m+16=8m+20$. 解得 $2m=4⟹m=2$.

方法二：几何对称法 注意到 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(4,2)$。由于 $\vec{c}$ 与 $\vec{a},\vec{b}$ 夹角相等，说明 $\vec{c}$ 落在 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的角平分线上。 设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向上的单位向量分别为 $\overrightarrow{e_a},\overrightarrow{e_b}$，则角平分线方向向量可表示为 $\lambda (\overrightarrow{e_a}+\overrightarrow{e_b})$。 由于 $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$，将 $\vec{c}=m\vec{a}+\vec{b}$ 变形： $\vec{c}=m|\vec{a}|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+|\vec{b}|\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=m\sqrt{5}\overrightarrow{e_a}+2\sqrt{5}\overrightarrow{e_b}$. 要使 $\vec{c}$ 沿 $\overrightarrow{e_a}+\overrightarrow{e_b}$ 方向，系数必须相等： $m\sqrt{5}=2\sqrt{5}⟹m=2$.

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$。

2. 核心方法：等式化简。在处理比例/夹角问题时，优先消去共同项（如本题中的 $|\vec{c}|$）。

3. 避坑指南：注意计算 $\vec{c}\cdot \vec{a}$ 时不要漏掉 $m$ 的系数，模长的计算（特别是 $\sqrt{20}$ 的化简）要细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量投影的几何意义、单位向量、菱形对角线平分内角。

2. 结论推广: 若 $\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的角平分线向量，则必有 $\frac{\lambda }{\mu }=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$。

3. 方法推广: 等式化简。在处理比例/夹角问题时，优先消去共同项（如本题中的 $|\vec{c}|$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积