2014-大纲卷文-18 解-解三角形求角

本题导读

边化角得 $\cos C=2\sin C$，$\tan C=\frac{1}{2}$；$\tan (A+C)=1$，$A+C=\frac{\pi }{4}$，$B=\frac{3\pi }{4}$。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $3a\cos C=2c\cos A$，$\tan A=\frac{1}{3}$，求 $B$.

🔍【思路分析】

破题导航

边化角得 $\cos C=2\sin C$，$\tan C=\frac{1}{2}$；$\tan (A+C)=1$，$A+C=\frac{\pi }{4}$，$B=\frac{3\pi }{4}$。

✅【答案】

点击查看答案

$B=\frac{3\pi }{4}$（即 $135^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{c}=\frac{\sin A}{\sin C}$，条件化为 $3\sin A\cos C=2\sin C\cos A$。

$\tan A=\frac{1}{3}>0$ 且 $A\in (0,\pi )$，$A$ 为锐角，$\cos A\ne 0$；若 $\cos C=0$ 则上式左端为 0、右端非零，矛盾，故 $\cos C\ne 0$。

两边同除 $\cos A\cos C$：$3\tan A=2\tan C$，代入 $\tan A=\frac{1}{3}$ 得 $\tan C=\frac{1}{2}$（$C$ 为锐角）。

$\tan (A+C)=\frac{\tan A+\tan C}{1-\tan A\tan C}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$。

$A+C\in (0,\pi )$，故 $A+C=\frac{\pi }{4}$，$B=\pi -(A+C)=\frac{3\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理（边角互化）；同角三角函数关系；两角和的正切

2. 核心方法：边化角 → 同除余弦化切 → 和角公式

3. 避坑指南：①同除 $\cos A\cos C$ 前要确认两者非零——$\tan A=\frac{1}{3}$ 排除 $\cos A=0$，反证排除 $\cos C=0$；②$\tan (A+C)=1$ 在 $(0,\pi )$ 内对应 $\frac{\pi }{4}$，$B$ 才是钝角 $\frac{3\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形求角常规题（doc 考点定位：解三角形），与 2014 年新课标Ⅰ理第 16 题、2015 年新课标Ⅰ文第 17 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$a\cos C=c\cos A⟺a\sin A$ 与 $c\sin C$ 的齐次关系，一律用正弦定理”边化角”；求角优先化切（$\tan$ 不受象限符号困扰时）。

3. 方法推广: 解三角形条件等式：正弦定理边角互换 → 同除余弦化切 → 和差公式 → 诱导公式收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-17 解-解三角形四边形
• 2015-新课标I卷文-17 解-解三角形