2014-大纲卷理-17 解-正弦定理

本题导读

本题考查利用正弦定理进行边角转化，并结合两角和的正切公式求解三角形内角问题，侧重于逻辑推理与代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $3a\cos C=2c\cos A$，$\tan A=\frac{1}{3}$，求 $B$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 边角转化：利用正弦定理 $a=2R\sin A,c=2R\sin C$ 将已知边角混合等式转化为仅含角的关系。

2. 求解 $\tan C$：通过同角三角函数关系将正弦、余弦的乘积式化为正切关系式，代入 $\tan A$ 求得 $\tan C$。

3. 求解角 $B$：利用三角形内角和定理 $B=\pi -(A+C)$ 以及诱导公式 $\tan B=-\tan (A+C)$，结合两角和的正切公式算出 $\tan B$，进而求出 $B$。

✅【答案】

点击查看答案

所以 $B=\frac{3\pi }{4}$（或 $135^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

解：

因为 $3a\cos C=2c\cos A$，

根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得 $a=\frac{c\sin A}{\sin C}$。

代入原式得：$3\sin A\cos C=2\sin C\cos A$。

两边同时除以 $\cos A\cos C$（由题意知 $\cos A,\cos C\ne 0$）：

$3\tan A=2\tan C$

已知 $\tan A=\frac{1}{3}$，代入上式：

$3\times \frac{1}{3}=2\tan C⟹2\tan C=1⟹\tan C=\frac{1}{2}$。

因为 $A,B,C$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $A+B+C=\pi$。

则 $B=\pi -(A+C)$。

$\tan B=\tan [\pi -(A+C)]=-\tan (A+C)$。

根据两角和的正切公式：

$\tan B=-\frac{\tan A+\tan C}{1-\tan A\tan C}$

$\tan B=-\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}=-\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}=-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=-1$

由于 $B\in (0,\pi )$，且 $\tan B=-1$，

所以 $B=\frac{3\pi }{4}$（或 $135^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的“边化角”功能；两角和正切公式 $\tan (A+C)=\frac{\tan A+\tan C}{1-\tan A\tan C}$。

2. 核心方法：在解三角形题目中，看到 $a,c$ 与 $\cos C,\cos A$ 混合出现，首选正弦定理统一为角。

3. 避坑指南：计算 $\tan B$ 时注意前面的负号（来自诱导公式）；最后确定角 $B$ 时要结合三角形内角的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 余弦定理、三角形面积公式、射影定理。

2. 结论推广: 若 $m\tan A=n\tan C$，则 $ma\cos C=nc\cos A$。

3. 方法推广: 涉及 $\tan B$ 的求解，通常利用 $A+C$ 的正切值再取相反数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理