2014-天津卷文-07 单-圆内接三角形

本题导读

①用弦切角定理与同弧圆周角；②用切割线定理；③用相交弦定理；④用相似三角形。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 如图，$△ABC$ 是圆的内接三角形，$\angle BAC$ 的平分线交圆于点 $D$，交 $BC$ 于 $E$，过点 $B$ 的圆的切线与 $AD$ 的延长线交于点 $F$.在上述条件下，给出下列四个结论：①$BD$ 平分 $\angle CBF$；②$F{B}^2=FD\cdot FA$；③$AE\cdot CE=BE\cdot DE$；④$AF\cdot BD=AB\cdot BF$.则所有正确结论的序号是()

A. ①②　　　　　　B. ③④　　　　　　C. ①②③　　　　　　D. ①②④

🔍【思路分析】

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①、②可分别由弦切角与圆幂定理直接确认；③ 要把相交弦定理的正确形式写出来比对；④ 靠 $△ABF\sim △BDF$ 转化。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

① 因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAD=\angle DAC$。 由弦切角定理得 $\angle FBD=\angle BAD$；又 $\angle DBC=\angle DAC$（同弧 $CD$ 所对的圆周角相等）。 于是 $\angle FBD=\angle DBC$，即 $BD$ 平分 $\angle CBF$，① 正确。 ② 点 $F$ 在圆外，$FB$ 为切线、$FDA$ 为割线，由切割线定理得 $F{B}^2=FD\cdot FA$，② 正确。 ③ $E$ 是圆内两弦 $AD$ 与 $BC$ 的交点，由相交弦定理应有 $AE\cdot DE=BE\cdot CE$，与③中两条线段的搭配不同，③ 错误。 ④ 因为 $F$ 在 $AD$ 的延长线上，所以 $\angle BAF=\angle BAD$；又由弦切角定理 $\angle DBF=\angle BAD$，故 $\angle BAF=\angle DBF$。 结合公共角 $\angle AFB=\angle BFD$，得 $△ABF\sim △BDF$，于是 $\frac{AF}{BF}=\frac{AB}{BD}$，即 $AF\cdot BD=AB\cdot BF$，④ 正确。 综上，正确结论的序号是 ①②④，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆内接三角形中的角与线段关系

2. 核心方法：四个结论逐个用定理判别

3. 避坑指南：③ 是最典型的陷阱：$E$ 是圆内两弦 $AD$ 与 $BC$ 的交点，相交弦定理给的是 $AE\cdot DE=BE\cdot CE$，与③中所写两条线段的搭配并不相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 弦切角定理、切割线定理、相交弦定理、相似三角形。

2. 结论推广: 弦切角等于它所夹弧对的圆周角；圆外一点引切线与割线有 $F{B}^2=FD\cdot FA$；圆内两弦相交有 $AE\cdot DE=BE\cdot CE$。

3. 方法推广: 面对多个几何结论，一条一条落实到具体定理；相似三角形的对应顶点一定要按“角相等”的顺序排好，再读对应边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-22 解-圆幂定理
• 2015-陕西卷文-22 解-圆幂定理