2014-天津卷文-18 解-椭圆离心率

本题导读

(1) 由 $|AB|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_1{F}_2|$ 得 $a^2=2c^2$；(2) 设 $P(x_0,y_0)$，用 $\overrightarrow{F_{1}P}\cdot \overrightarrow{F_{1}B}=0$ 与椭圆方程解出 $P$。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，右顶点为 $A$，上顶点为 $B$，已知 $|AB|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_1{F}_2|$.

(1) 求椭圆的离心率；

(2) 设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $PB$ 为直径的圆经过点 $F_1$，经过点 $F_2$ 的直线 $l$ 与该圆相切于点 $M$，$|M{F}_2|=2\sqrt{2}$.求椭圆的方程.

🔍【思路分析】

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(1) $A(a,0)$，$B(0,b)$，由 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}c$ 得 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) 取 $c=t$，则椭圆为 $\frac{x^2}{2t^2}+\frac{y^2}{t^2}=1$。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意 $A(a,0)$，$B(0,b)$，$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$。 $|AB|=\sqrt{a^2+b^2}$，$|F_1{F}_2|=2c$，由 $|AB|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_1{F}_2|$ 得 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}c$，即 $a^2+b^2=3c^2$。 又 $b^2=a^2-c^2$，所以 $2a^2-c^2=3c^2$，$a^2=2c^2$，故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 (2) 由 (1) 知 $a^2=2c^2$，$b^2=c^2$。记 $c=t>0$，则 $b=t$，$a=\sqrt{2}t$，椭圆为 $\frac{x^2}{2t^2}+\frac{y^2}{t^2}=1$，且 $F_1(-t,0)$，$B(0,t)$。 设 $P(x_0,y_0)$。因为以 $PB$ 为直径的圆经过 $F_1$，所以 $\angle P{F}_{1}B=90^{\circ }$，即 $\overrightarrow{F_{1}P}\cdot \overrightarrow{F_{1}B}=(x_0+t,y_0)\cdot (t,t)=t(x_0+t)+t{y}_0=0$， 得 $y_0=-x_0-t$。 代入椭圆方程 $\frac{x_0^2}{2t^2}+\frac{y_0^2}{t^2}=1$，即 $x_0^2+2y_0^2=2t^2$，得 $x_0^2+2(x_0+t{)}^2=2t^2$，化简得 $3x_0^2+4t{x}_0=0$，所以 $x_0=0$ 或 $x_0=-\frac{4t}{3}$。 当 $x_0=0$ 时 $P(0,-t)$ 是椭圆的下顶点，与“$P$ 异于其顶点”矛盾，舍去； 故 $x_0=-\frac{4t}{3}$，$y_0=\frac{t}{3}$，即 $P\left(-\frac{4t}{3},\frac{t}{3}\right)$。 以 $PB$ 为直径的圆的圆心为 $PB$ 的中点 $O^{\prime }\left(-\frac{2t}{3},\frac{2t}{3}\right)$，半径 $r=\frac{1}{2}|PB|=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(\frac{4t}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2t}{3}\right)}^2}=\frac{1}{2}\times \frac{2\sqrt{5}t}{3}=\frac{\sqrt{5}t}{3}$。 因为 $F_2(t,0)$ 到圆心的距离 $|O^{\prime }{F}_2|=\sqrt{{\left(t+\frac{2t}{3}\right)}^2+{\left(0-\frac{2t}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25t^2}{9}+\frac{4t^2}{9}}=\frac{\sqrt{29}t}{3}$， 所以由切线长公式 $|M{F}_2{|}^2=|O^{\prime }{F}_2{|}^2-r^2=\frac{29t^2}{9}-\frac{5t^2}{9}=\frac{24t^2}{9}=\frac{8t^2}{3}$。 由 $|M{F}_2|=2\sqrt{2}$ 得 $\frac{8t^2}{3}=8$，即 $t^2=3$。 所以 $a^2=2t^2=6$，$b^2=t^2=3$，椭圆的方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的离心率

2. 核心方法：利用圆的切线性质求标准方程

3. 避坑指南：“以 $PB$ 为直径的圆经过 $F_1$”等价于 $\overrightarrow{F_{1}P}\cdot \overrightarrow{F_{1}B}=0$，据此可解出 $P$ 的坐标（注意排除顶点）；最后用“切线长 $=$ 圆幂”把 $|M{F}_2|$ 与 $c$ 联系起来。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆的定义、几何性质，直线与圆的位置关系。

2. 结论推广: $|AB|=\sqrt{a^2+b^2}$，$|F_1{F}_2|=2c$，$e=\frac{c}{a}$；点 $F_2$ 到圆的切线长满足 $|M{F}_2{|}^2=|O^{\prime }{F}_2{|}^2-r^2$（$O^{\prime }$ 为圆心）。

3. 方法推广: 圆锥曲线解答题按“文字条件 $\to$ 方程条件”逐句翻译，再把几何量（弦长、切线长）用代数式表达。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-20 解-椭圆离心率
• 2014-山东卷文-21 解-椭圆斜率面积