2014-天津卷理-12 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理、余弦定理，以及边角互化。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，已知 $b-c=\frac{1}{4}a$，$2\sin B=3\sin C$，则 $\cos A$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用正弦定理将正弦比转化为边长比：$\frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{3}{2}$。
2. 结合已知条件 $b-c=\frac{1}{4}a$，用 $a$ 分别表示出 $b$ 和 $c$。
3. 利用余弦定理计算 $\cos A$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 及 $2\sin B=3\sin C$，得 $\frac{b}{c}=\frac{3}{2}$，即 $b=\frac{3}{2}c$。 代入 $b-c=\frac{1}{4}a$ 中： $\frac{3}{2}c-c=\frac{1}{4}a⟹\frac{1}{2}c=\frac{1}{4}a⟹a=2c$。 从而 $b=\frac{3}{2}c$，$a=2c$。 由余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $=\frac{(\frac{3}{2}c{)}^2+c^2-(2c{)}^2}{2\cdot (\frac{3}{2}c)\cdot c}$ $=\frac{\frac{9}{4}{c}^2+c^2-4c^2}{3c^2}$ $=\frac{-\frac{3}{4}{c}^2}{3c^2}=-\frac{1}{4}$。 故答案为 $-\frac{1}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理。

2. 核心方法：由正弦定理把正弦比转边长比，结合条件用 $c$ 表示各边，再用余弦定理求 $\cos A$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理边角互化与余弦定理。

2. 结论推广: $\frac{b}{c}=\frac{3}{2}$ 时结合 $b-c=\frac{1}{4}a$ 得 $a=2c$。

3. 方法推广: 边角混合条件先正弦定理化边，再余弦定理求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理