2014-安徽卷理-18 解-导数单调性

本题导读

本题考查利用导数研究含参数三次函数的单调性及闭区间上的最值问题。解题关键在于对极值点与给定区间端点的位置关系进行分类讨论，体现了严密的逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 设函数 $f(x)=1+(1+a)x-x^2-x^3$，其中 $a>0$.

(1) 讨论 $f(x)$ 在其定义域上的单调性；

(2) 当 $x\in [0,1]$ 时，求 $f(x)$ 取得最大值和最小值时的 $x$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：对函数求导，得二次导函数。由于 $a>0$，导函数的判别式恒大于 $0$，方程 $f^{\prime }(x)=0$ 有两个不等的实根。利用两根将数轴分段，判定导数正负，从而得出单调区间。

2. 第二问分析：

   • 极值点判定：首先确定导函数在 $[0,1]$ 内的零点情况。

   • 最大值：讨论极大值点 $x_2$ 是否在 $[0,1]$ 内。若 $x_2<1$，最大值在 $x_2$ 处取得；若 $x_2\ge 1$，函数在该区间单调递增，最大值在 $x=1$ 处取得。

   • 最小值：比较端点 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的大小，根据 $a$ 的不同取值范围进行讨论。

✅【答案】

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最大值点；最小值点

✍【详细解析】

Abstract

(1) 讨论单调性

$f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，其导函数为：

$f^{\prime }(x)=1+a-2x-3x^2$

令 $f^{\prime }(x)=0$，即 $3x^2+2x-(1+a)=0$。

由于 $\Delta =4+12(1+a)=16+12a>0$，方程有两个实根：

$x_1=\frac{-2-\sqrt{16+12a}}{6}=\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$

$x_2=\frac{-2+\sqrt{16+12a}}{6}=\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$

可知 $x_1<x_2$。

• 当 $x\in (-\infty ,x_1)$ 或 $x\in (x_2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；

• 当 $x\in (x_1,x_2)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。

(2) 求区间 $[0,1]$ 上的最值点

由 $a>0$ 可知 $x_1<0,x_2>0$。

① 关于最大值点：

若 $x_2\ge 1$，即 $\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}\ge 1$，解得 $a\ge 4$。

此时 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，最大值点为 $x=1$。

若 $0<a<4$，则 $x_2<1$。

此时 $f(x)$ 在 $[0,x_2]$ 递增，在 $[x_2,1]$ 递减，最大值点为 $x=x_2=\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$。

② 关于最小值点：

由于 $f(x)$ 在 $[0,x_2]$ 递增，在 $[x_2,1]$ 递减（或全域递增），最小值必在端点 $x=0$ 或 $x=1$ 处取得。

$f(0)=1$；

$f(1)=1+(1+a)-1-1=a$。

比较 $f(0)$ 与 $f(1)$：

• 当 $0<a<1$ 时，$f(1)<f(0)$，最小值点为 $x=1$；

• 当 $a=1$ 时，$f(1)=f(0)$，最小值点为 $x=0$ 和 $x=1$；

• 当 $a>1$ 时，$f(1)>f(0)$，最小值点为 $x=0$。

结论汇总：

• 最大值点：当 $0<a<4$ 时，为 $x=\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；当 $a\ge 4$ 时，为 $x=1$。

• 最小值点：当 $0<a<1$ 时，为 $x=1$；当 $a=1$ 时，为 $x=0$ 和 $x=1$；当 $a>1$ 时，为 $x=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：用导数研究含参三次函数单调性与闭区间最值。

2. 核心方法：求导得二次式，讨论极值点与区间端点位置关系确定最值点。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三次函数单调性与极值点分布。

2. 结论推广: 闭区间最值点必在端点或极值点处取得。

3. 方法推广: 含参函数最值按极值点是否落入区间分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2013-新课标II卷理-21 解-导数单调性
• 2013-广东卷理-21 解-导数单调性