2014-山东卷文-09 单-准偶函数

本题导读

“准偶”即存在对称轴 $x=a$：$\cos (x+1)$ 关于 $x=-1$ 对称，取 $a=-1$ 成立，选 D。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 对于函数 $f(x)$，若存在常数 $a\ne 0$，使得 $x$ 取定义域内的每一个值，都有 $f(x)=f(2a-x)$，则称 $f(x)$ 为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是()

A. $f(x)=\sqrt{x}$　　　B. $f(x)=x^3$　　　C. $f(x)=\tan x$　　　D. $f(x)=\cos (x+1)$

🔍【思路分析】

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“准偶”即存在对称轴 $x=a$：$\cos (x+1)$ 关于 $x=-1$ 对称，取 $a=-1$ 成立，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

”$f(x)=f(2a-x)$ 对定义域内每个 $x$ 成立”即 $f$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称，且要求定义域本身也关于 $x=a$ 对称。

(A) $f(x)=\sqrt{x}$ 定义域 $[0,+\infty )$ 不关于任何 $a\ne 0$ 对称，排除。

(B) $x^3$ 严格单调，若关于 $x=a$ 对称则必有 $f(2a-x)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立，与单调矛盾，排除。

(C) $\tan x$ 关于 $x=k\pi$ 对称，但 $k=0$ 时 $a=0$ 不合要求；取 $a=\pi$：$\tan (2\pi -x)=-\tan x\ne \tan x$。$\tan$ 的对称轴处 $a=0$，排除。

(D) $f(x)=\cos (x+1)$ 关于 $x=k\pi -1$ 对称。取 $a=-1$：$f(2a-x)=\cos (-2-x+1)=\cos (-x-1)=\cos (x+1)=f(x)$ ✓（$a=-1\ne 0$）。

选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义函数；函数图象的对称轴

2. 核心方法："$f(x)=f(2a-x)$"翻译为”关于 $x=a$ 对称”，再逐项找对称轴并核对 $a\ne 0$ 与定义域

3. 避坑指南：①别把”准偶”当成偶函数——对称轴是 $x=a$ 而不一定是 $y$ 轴；②$\tan x$ 虽有对称轴 $x=k\pi$，但 $k=0$ 给 $a=0$ 不合定义，其余 $k$ 给 $a=\pm \pi$ 时不满足等式（$\tan (2\pi -x)=-\tan x$），两处都会骗人。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数新定义题，与 1983 年全国卷理第 4 题、1987 年全国卷理第 8 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$f(x)=f(2a-x)$ 对一切 $x$ 成立 $⟺$ 图象关于直线 $x=a$ 对称；基本初等函数的对称轴要熟：$\cos$ 在 $x=k\pi$、$\sin$ 在 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$、$\tan$ 在 $x=\frac{k\pi }{2}$（$k$ 偶）。

3. 方法推广: 新定义题三步：把定义翻译成熟悉的数学语言 → 提取关键约束（$a\ne 0$、定义域对称）→ 逐项检验或构造。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1983-全国卷理-04
• 1987-全国卷理-08 单-反三角函数的图象