2014-山东卷文-18 解-四棱锥线面

本题导读

(1) $2\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AP}$ ⟹ $AP\parallel$ 平面 $BEF$；(2) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CD}$ 得 $BE\perp AP$，又 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AC}=|c{|}^2-|a{|}^2=0$ 得 $BE\perp AC$ ⟹ $BE\perp$ 平面 $PAC$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AP\perp$ 平面 $PCD$，$AD\parallel BC$，$AB=BC=\frac{1}{2}AD$，$E$，$F$ 分别为线段 $AD$，$PC$ 的中点.

(1) 求证：$AP\parallel$ 平面 $BEF$；

(2) 求证：$BE\perp$ 平面 $PAC$.

🔍【思路分析】

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(1) $2\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AP}$ ⟹ $AP\parallel$ 平面 $BEF$；(2) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CD}$ 得 $BE\perp AP$，又 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AC}=|c{|}^2-|a{|}^2=0$ 得 $BE\perp AC$ ⟹ $BE\perp$ 平面 $PAC$。

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✍【详细解析】

Abstract

设 $\overrightarrow{BA}=a$，$\overrightarrow{BC}=c$，$\overrightarrow{BP}=p$。由 $AD\parallel BC$、$AD=2BC$：$\overrightarrow{AD}=2c$，$\overrightarrow{BD}=a+2c$。

$E$、$F$ 分别为 $AD$、$PC$ 中点：$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=a+c$；$F$ 为 $PC$ 中点，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BC})=\frac{p+c}{2}$。

(1) $2\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BE}=(p+c)-(a+c)=p-a=\overrightarrow{AP}$。

即 $\overrightarrow{AP}$ 可表示为平面 $BEF$ 内两个不共线方向向量 $\overrightarrow{BF}$、$\overrightarrow{BE}$ 的线性组合，且 $AP\not\subset$ 平面 $BEF$，所以 $AP\parallel$ 平面 $BEF$。

(2) 由 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=a+c=\overrightarrow{BE}$，得 $BE\parallel CD$。

$CD\subset$ 平面 $PCD$，$AP\perp$ 平面 $PCD$，所以 $BE\perp AP$。

又 $\overrightarrow{AC}=c-a$，$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AC}=(a+c)\cdot (c-a)=|c{|}^2-|a{|}^2=0$（$AB=BC$ 即 $|a|=|c|$），所以 $BE\perp AC$。

$AP\cap AC=A$，$AP$、$AC\subset$ 平面 $PAC$，所以 $BE\perp$ 平面 $PAC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与平面平行（方向向量线性组合）；直线与平面垂直的判定；向量基底法

2. 核心方法：“中点 ⟹ 系数减半”用基底表示目标向量；"$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CD}$"平移垂直关系

3. 避坑指南：①(1) 的关键等式 $2\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AP}$ 由中点公式拼出，系数 2 别丢；②(2) 里 $BE\perp AC$ 靠的是 $|a|=|c|$（$AB=BC$）的平方差结构——若 $AB\ne BC$ 这条就断了，证明时要把这一步写明。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 四棱锥平行与垂直证明题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 19 题、新课标Ⅱ理第 18 题同型。

2. 结论推广: 一般地，证明线面平行可用”目标向量 = 面内两不共线方向向量的线性组合”；等腰三角形（$|a|=|c|$）天然提供 $(a+c)\perp (c-a)$，是构造垂直的常用结构。

3. 方法推广: 不规则四棱锥优先基底向量法：选三个不共面向量表达一切，中点条件自动变成”系数取半”，垂直靠点积为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直
• 2014-新课标II卷理-18 解-直线与平面平行判定