2014-广东卷文-18 解-立体几何折叠

本题导读

(1) $MD\perp$ 平面 $PCD$ 结合 $MF\perp CF$ 得线面垂直；(2)翻折保持 $PE=ME$，在 $△PCD$ 内用 $D{C}^2=CF\cdot CP$ 求 $CF$，再连锁求 $DE$、$ME$、$MD$。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 如图 1，四边形 $ABCD$ 为矩形，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，$AB=1$，$BC=PC=2$.作如图 2 折叠，折痕 $EF\parallel DC$，其中点 $E$，$F$ 分别在线段 $PD$，$PC$ 上，沿 $EF$ 折叠后点 $P$ 叠在线段 $AD$ 上的点记为 $M$，并且 $MF\perp CF$.

(1) 证明：$CF\perp$ 平面 $MDF$；

(2) 求三棱锥 $M-CDE$ 的体积.



🔍【思路分析】

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(1) $MD\perp$ 平面 $PCD$ 是由 $AD\perp$ 平面 $PCD$ 得到的——$M$ 在 $AD$ 上；(2)翻折前后 $|PE|$、$|PF|$ 不变是求 $DE$ 的关键。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2)$V_{M-CDE}=\frac{\sqrt{2}}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $PD\perp$ 平面 $ABCD$，且 $PD\subset$ 平面 $PCD$，故平面 $PCD\perp$ 平面 $ABCD$，交线为 $CD$。 矩形中 $AD\perp CD$，$AD\subset$ 平面 $ABCD$，故 $AD\perp$ 平面 $PCD$。$M$ 在 $AD$ 上，故 $MD\perp$ 平面 $PCD$，从而 $MD\perp CF$。 又 $MF\perp CF$，$MD\cap MF=M$，$MD,MF\subset$ 平面 $MDF$，故 $CF\perp$ 平面 $MDF$。 (2) 在 $△PCD$ 中，$PD=\sqrt{P{C}^2-C{D}^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，$\angle PCD=60^{\circ }$。由(1)$CF\perp DF$，在 $△CDF$ 中 $C{D}^2=CF\cdot CP$（射影关系：$△CDF\sim △CPD$），故 $CF=\frac{C{D}^2}{CP}=\frac{1}{2}$，$DF=\sqrt{C{D}^2-C{F}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由 $EF\parallel DC$ 得 $\frac{PF}{PC}=\frac{PE}{PD}$，而 $PF=PC-CF=\frac{3}{2}$，故 $PE=PD\cdot \frac{PF}{PC}=\sqrt{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$DE=PD-PE=\frac{\sqrt{3}}{4}$。 翻折不改变 $|PE|$、$|PF|$，故 $ME=PE=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。由 $MD\perp$ 平面 $PCD$ 知 $MD\perp DE$，在 $△MDE$ 中 $MD=\sqrt{M{E}^2-D{E}^2}=\sqrt{\frac{27}{16}-\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 $S_{△CDE}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot DE=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{8}$（$DE\perp CD$）。 $V_{M-CDE}=\frac{1}{3}\cdot S_{△CDE}\cdot MD=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：翻折问题与线面垂直、锥体体积

2. 核心方法：翻折不变量 + 面面垂直的性质

3. 避坑指南：翻折前后 $|PE|$、$|PF|$ 不变，这是把”折叠后”的条件拉回平面图求解的桥梁；$MD\perp$ 平面 $PCD$ 同时给出(1)的线线垂直与(2)的高；$D{C}^2=CF\cdot CP$ 是直角三角形斜边上的射影关系，别与 $C{D}^2=DF\cdot DP$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 翻折型立体几何题：不变量（翻折轴上的距离关系）+ 高的转化是标准打法。

2. 结论推广: 推广：直角三角形斜边上的高 $h$ 满足 $a^2=c\cdot p_a$（射影定理），翻折题中常用于求截线段。

3. 方法推广: 翻折题流程：平面图定不变量 → 立体图找垂直定高 → 体积公式收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-18 解-线面垂直
• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直