2014-广东卷理-08 单-组合

本题导读

本题属于组合数学中的计数题。通过对绝对值之和的限制条件进行分类讨论，考查学生逻辑思维的严密性以及对组合数公式与分步乘法原理的综合运用能力。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 设定集合$A=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\mid x_i\in \{-1,0,1\},i=1,2,3,4,5\}$，那么集合$A$中满足条件“$1\le |x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|+|x_5|\le 3$” 的元素个数为()

A. 60　　　　　　B. 90　　　　　　C. 120　　　　　　D. 130

🔍【思路分析】

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1. 理解所有权：由于$x_i\in \{-1,0,1\}$，则$|x_i|$的取值只能是$0$或$1$。

2. 分析约束条件：设定$S={\sum }_{i=1}^5|x_i|$。$S$的物理意义是这个$5$个指标中，取值$\pm 1$问题的指标数。要求$1\le S\le 3$。

3. 分类讨论：

   • 情况一：恰有$1$个指标取$\pm 1$（其余$4$个取$0$），即$S=1$。

   • 情况二：恰有$2$个指标取$\pm 1$（其余$3$个取$0$），即$S=2$。

   • 情况三：恰有$3$个指标取$\pm 1$（其余$2$个取$0$），即$S=3$。

4. 分步计算：对于全部情况，先选位置（组合）$C_n^k$），再定分数（每个位置有$2$品种选择：$1$或$-1$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，$|x_i|$只能取$0$或$1$。令$k$为这$5$个数中非零（即取$\pm 1$）的个数，则$S=k$。 满足$1\le k\le 3$情况如下：

1. 当$k=1$时（即只有$1$个数绝对值$1$）：

• 第一步：从$5$个位置选$1$个位置放$\pm 1$，共有$C_5^1$种选法；

• 第二步：该位置的取值可以是$1$或$-1$，共有$2^1$种选择。

• 统计：$C_5^1\times 2=5\times 2=10$个。

2. 当$k=2$时（即只有$2$个数绝对值$1$）：

• 第一步：从$5$个位置选$2$个位置放$\pm 1$，共有$C_5^2$种选法；

• 第二步：选出的$2$个位置各有$2$种取值（$1$或$-1$），共有$2^2$种选择。

• 统计：$C_5^2\times 2^2=10\times 4=40$个。

3.当$k=3$时（即只有$3$个数绝对值$1$）：

• 第一步：从$5$个位置选$3$个位置放$\pm 1$，共有$C_5^3$种选法；

• 第二步：选出的$3$个位置各有$2$种取值（$1$或$-1$），共有$2^3$种选择。

• 统计：$C_5^3\times 2^3=10\times 8=80$个。

4.汇总： 根据分类加法计数原理，总元素个数为：

$10+40+80=130$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类计数与组合数的综合应用。

2. 核心方法：按非零个数 $k=1,2,3$ 分类，用 $C_5^k\cdot 2^k$ 求和。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分类加法计数与组合数公式。

2. 结论推广: 满足 $1\le \sum |x_i|\le 3$ 的元素数为 ${\sum }_{k=1}^3{C}_5^k{2}^k=130$。

3. 方法推广: 计数题先分类再分步相乘相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-10 填-组合数
• 2026-新高考II卷-06 单-排列组合
• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数