2014-新课标II卷理-12 单-正弦函数的极值与极值点

本题导读

本题是选择题的压轴题，考查正弦型函数的极值点性质及存在性问题。核心在于将“极值点”转化为三角函数的特定取值，并通过不等式的变形，寻找使存在性成立的参数临界条件。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \frac{\pi x}{m}$，若存在 $f(x)$ 的极值点 $x_0$ 满足 $x_0^2+[f(x_0){]}^2<m^2$，则 $m$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,-6)\cup (6,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-4)\cup (4,+\infty )$

C. $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析极值点性质：对于正弦函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )$，其极值点 $x_0$ 处函数必取得最大值或最小值。因此 $[f(x_0){]}^2=A^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$。
2. 确定极值点表达式：由 $\frac{\pi x_0}{m}=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$，得到 $x_0=(k+\frac{1}{2})m$。
3. 转化不等式：将上述结果代入已知不等式 $x_0^2+3<m^2$。
4. 处理存在性问题：题目要求“存在”一个 $x_0$ 满足条件。这意味着我们需要寻找 $x_0^2$ 的最小值。当 $x_0^2$ 取得最小值时，若不等式仍不成立，则不存在；反之，若最小值能满足不等式，则 $m$ 的范围即得。
5. 寻找最小极值点：观察 $x_0=\frac{2k+1}{2}m$，当 $k=0$ 或 $k=-1$ 时，$x_0^2$ 取得最小值 $\frac{1}{4}{m}^2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求极值点的函数值 由 $f(x)=\sqrt{3}\sin \frac{\pi x}{m}$ 知，当 $x_0$ 为极值点时： $\sin \frac{\pi x_0}{m}=\pm 1⟹f(x_0)=\pm \sqrt{3}$。 所以，$[f(x_0){]}^2=3$。

第二步：求极值点 $x_0$ 的表达式 由正弦函数的性质，极值点满足： $\frac{\pi x_0}{m}=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ 解得：$x_0=(k+\frac{1}{2})m=\frac{2k+1}{2}m$。

第三步：代入并化简不等式 将结果代入 $x_0^2+[f(x_0){]}^2<m^2$ 得： $x_0^2+3<m^2$ 若存在 $x_0$ 满足上式，则 $m^2-3$ 必须大于 $x_0^2$ 的最小值。

第四步：求 $x_0^2$ 的最小值 由于 $k\in \mathbb{Z}$，当 $k=0$ 时，$x_0=\frac{1}{2}m$；当 $k=-1$ 时，$x_0=-\frac{1}{2}m$。 此时 $x_0^2$ 取得最小值 $\frac{1}{4}{m}^2$。 要使不等式有解，只需： $\frac{1}{4}{m}^2+3<m^2$ 整理得：$\frac{3}{4}{m}^2>3⟹m^2>4$。

第五步：求 $m$ 的范围 由 $m^2>4$ 解得： $m>2$ 或 $m<-2$。 即 $m\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数极值点横纵坐标的关系（纵坐标平方为振幅平方）。 2. 逻辑关键：理解“存在性”与“最小值”的逻辑关联。如果要求“恒成立”，则需比较最大值。

2. 核心方法：由极值点满足 $x_0=\frac{2k+1}{2}m$，取 $x_0^2$ 最小值代入存在性不等式求 $m$ 范围。

3. 避坑指南：不要误认为 $x_0$ 是任意实数。$x_0$ 必须是极值点，因此它只能取离散的特定值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 存在性命题的否定、二次不等式的解法、函数的振幅与频率。

2. 结论推广: 若问题改为“存在零点 $x_0$ 满足条件”，则 $f(x_0)=0$，此时最小的 $x_0^2$ 通常为 $0$（当 $k=0$ 时），范围会随之改变。

3. 方法推广: 涉及三角函数图像上特殊点（极值点、零点、对称中心）的几何性质，代入其标准特征方程是通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-08 单-函数的极值与最值
• 2013-湖北卷文-10 单-对数函数极值点
• 2025-新高考II卷-10 多-奇函数与极值