2014-新课标I卷理-22 解-圆内接四边形的性质

本题导读

本题是平面几何证明题。第一问通过圆内接四边形外角等于内对角的性质结合等腰三角形进行角度等量代换；第二问利用垂径定理及等腰三角形“三线合一”的逆向应用，判定线段平行，进而推导出等边三角形的三个内角相等。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 如图，四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$AB$ 的延长线与 $DC$ 的延长线交于点 $E$，且 $CB=CE$.

(1) 证明：$\angle D=\angle E$；

(2) 设 $AD$ 不是 $\odot O$ 的直径，$AD$ 的中点为 $M$，且 $MB=MC$.证明：$△ADE$ 为等边三角形.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：角度推导
   • 利用圆内接四边形性质：一个外角等于它的内对角，即 $\angle CBE=\angle D$。
   • 利用 $CB=CE$ 可知 $△CBE$ 是等腰三角形，得 $\angle E=\angle CBE$。
   • 通过等量代换即可得证。
2. 第二问：等边三角形判定
   • 关键辅助线：设 $BC$ 的中点为 $N$，连接 $MN,OM,ON$。
   • 利用 $MB=MC$ 推导出 $MN$ 是 $BC$ 的垂直平分线，由于 $O$ 是圆心，则 $O$ 必在 $MN$ 上。
   • 利用垂径定理，由 $M$ 是 $AD$ 中点得 $OM\perp AD$。由于 $MN\perp BC$，且 $O,M,N$ 共线，推导出 $AD//BC$。
   • 平行线导出同位角相等 $\angle A=\angle CBE$。
   • 结合第一问结论 $\angle A=\angle D=\angle E$，从而判定为等边三角形。

✅【答案】

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第 (1) 小题：证明 $\angle D=\angle E$；第 (2) 小题：证明 $△ADE$ 为等边三角形

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：证明 $\angle D=\angle E$ 因为四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， 所以 $\angle D+\angle ABC=180^{\circ }$。 又因为 $\angle ABC+\angle CBE=180^{\circ }$（平角定义）， 所以 $\angle D=\angle CBE$。 在 $△CBE$ 中，因为 $CB=CE$， 所以 $\angle E=\angle CBE$。 由此得：$\angle D=\angle E$。

第 (2) 小题：证明 $△ADE$ 为等边三角形 设 $BC$ 的中点为 $N$，连接 $MN$。 因为 $MB=MC$，且 $N$ 为 $BC$ 中点， 所以 $MN\perp BC$。 根据圆的对称性（或垂直平分线性质），弦 $BC$ 的垂直平分线必经过圆心 $O$，即 $O$ 在直线 $MN$ 上。 连接 $OM$。因为 $M$ 是弦 $AD$ 的中点，且 $AD$ 不是直径， 根据垂径定理，$OM\perp AD$。 因为 $O,M,N$ 在同一条直线上（即垂直平分线 $MN$）， 所以 $AD//BC$。 由平行线的性质可得：$\angle A=\angle CBE$。 由 (1) 知，$\angle CBE=\angle E=\angle D$。 所以 $\angle A=\angle D=\angle E$。 在 $△ADE$ 中，三个内角相等， 故 $△ADE$ 为等边三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆内接四边形的性质、垂径定理、等边三角形判定。

2. 核心方法：外角等于内对角等量代换，结合垂径定理与等腰三角形判定。

3. 避坑指南：在说明 $AD//BC$ 时，必须提及 $AD$ 不是直径，以保证 $OM$ 直线的唯一性及垂直关系成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 托勒密定理（内接四边形边长关系）、切割线定理、相交弦定理。

2. 结论推广: 若一个内接四边形的一组对边延长相交形成等腰三角形，且另一组对边平行，则该四边形通常为等腰梯形。

3. 方法推广: 证明等边三角形常用的三种路径：①三边相等；②三角相等；③一个角为 $60^{\circ }$ 的等腰三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-22 解-圆内接四边形
• 2013-重庆卷理-07 单-圆的性质
• 2013-湖北卷理-15 填-圆的性质