2014-江西卷文-11 填-导数切线

本题导读

先求 $y\acute{=}\ln x+1$，再令它等于已知直线的斜率 $2$。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 若曲线 $y=x\ln x$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2x-y+1=0$，则点 $P$ 的坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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直线的斜率为 $2$，故切线斜率也为 $2$。

✅【答案】

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$(\mathrm{e},\mathrm{e})$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=x\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，且 $y\acute{=}\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$。 直线 $2x-y+1=0$ 的斜率为 $2$。设切点横坐标为 $x_0$，由切线平行于该直线得 $\ln x_0+1=2$，即 $\ln x_0=1$，故 $x_0=\mathrm{e}$。 此时 $y_0=\mathrm{e}\ln \mathrm{e}=\mathrm{e}$，所以点 $P$ 的坐标为 $(\mathrm{e},\mathrm{e})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切线斜率）

2. 核心方法：由斜率相等列方程

3. 避坑指南：注意 $y=x\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$；切线与已知直线平行意味着斜率相等，解出切点横坐标后要代回原函数求纵坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数的几何意义与两直线平行的条件。

2. 结论推广: 曲线在 $x_0$ 处的切线斜率为 $f\acute{(}{x}_0)$；两直线平行等价于斜率相等且不重合。

3. 方法推广: 切线问题先求导得到斜率的表达式，再把「平行」「垂直」「已知切线」等条件翻译为关于切点横坐标的方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-14 填-导数几何意义
• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线