2014-江西卷理-07 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的循环结构。解题核心在于模拟程序运行，并利用对数的相加运算（底数相同，真数相乘）通过“对数级数”的抵消寻找 $S$ 的表达式规律，判断循环跳出条件。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()

A. $7$　　　　　　　B. $9$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $11$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化变量：初始状态为 $i=1,S=0$。
2. 模拟循环过程：
   • 每次循环计算 $S=S+\lg \frac{i}{i+2}$。
   • 每次判定 $S<-1$ 是否成立。
   • 若不成立，执行 $i=i+2$ 并继续循环；若成立，输出此时的 $i$ 并结束。
3. 寻找 $S$ 的表达式规律：利用 $\lg A+\lg B=\lg (AB)$，发现 $S$ 是一个链式乘积的形式，真数部分会发生约分抵消。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：模拟循环运行

• 第 1 次循环：$i=1$，计算 $S=0+\lg \frac{1}{3}=\lg \frac{1}{3}$。 此时 $\lg \frac{1}{3}>\lg 10^{-1}=-1$，不满足 $S<-1$，执行 $i=1+2=3$。
• 第 2 次循环：$i=3$，计算 $S=\lg \frac{1}{3}+\lg \frac{3}{5}=\lg (\frac{1}{3}\times \frac{3}{5})=\lg \frac{1}{5}$。 此时 $\lg \frac{1}{5}>-1$，不满足 $S<-1$，执行 $i=3+2=5$。
• 第 3 次循环：$i=5$，计算 $S=\lg \frac{1}{5}+\lg \frac{5}{7}=\lg \frac{1}{7}$。 此时 $\lg \frac{1}{7}>-1$，不满足 $S<-1$，执行 $i=5+2=7$。
• 第 4 次循环：$i=7$，计算 $S=\lg \frac{1}{7}+\lg \frac{7}{9}=\lg \frac{1}{9}$。 此时 $\lg \frac{1}{9}>-1$，不满足 $S<-1$，执行 $i=7+2=9$。
• 第 5 次循环：$i=9$，计算 $S=\lg \frac{1}{9}+\lg \frac{9}{11}=\lg \frac{1}{11}$。 此时由于 $11>10$，所以 $\frac{1}{11}<\frac{1}{10}=10^{-1}$。 由对数函数单调性知 $\lg \frac{1}{11}<\lg 10^{-1}=-1$，满足 $S<-1$。

第二步：确定输出结果 此时满足条件，退出循环并输出当前的变量 $i$。 此时 $i=9$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构的逻辑执行顺序；对数的性质（$\lg A+\lg B=\lg AB$）在数列求和中的应用。

2. 核心方法：模拟法。对于这类步数较少的框图题，逐步列出变量的变化是最稳妥的办法。

3. 避坑指南：注意判定条件 $S<-1$ 的位置（在 $i$ 更新之前还是之后）。本题中是先更新 $S$ 立即判定，判定失败后再更新 $i$，因此输出的是进入本次循环的旧 $i$ 值，而非判定后的新 $i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常用对数 $\lg x$ 的定义域与单调性；程序框图中的直到型循环与当型循环。

2. 结论推广: 在程序中处理 $\sum \log f(i)$ 形式时，应转化为 $\log (\prod f(i))$ 利用裂项或约分简化计算。

3. 方法推广: 若循环步数极大，需写出第 $n$ 次循环后的通项式 $S_n=\lg \frac{1}{2n+1}$，通过不等式 $S_n<-1$ 求解 $n$ 的最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图