2014-浙江卷文-10 单-仰角最大值

本题导读

设 $P$ 高 $h$，${\tan }^2\theta =\frac{h^2}{625-40\sqrt{3}h+3h^2}$，将其视为关于 $h$ 的方程有解问题，判别式得 ${\tan }^2\theta \le \frac{25}{27}$，最大值 $\frac{5\sqrt{3}}{9}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 如图，某人在垂直于水平地面 $ABC$ 的墙面前的点 $A$ 处进行射击训练，已知点 $A$ 到墙面的距离为 $AB$，某目标点 $P$ 沿墙面上的射线 $CM$ 移动，此人为了准确瞄准目标点 $P$，需计算由点 $A$ 观察点 $P$ 的仰角 $\theta$ 的大小（仰角 $\theta$ 为直线 $AP$ 与平面 $ABC$ 所成的角）.若 $AB=15$ m，$AC=25$ m，$\angle BCM=30°$，则 $\tan \theta$ 的最大值是()

A. $\frac{\sqrt{30}}{5}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{30}}{10}$　　　　　　C. $\frac{4\sqrt{3}}{9}$　　　　　　D. $\frac{5\sqrt{3}}{9}$

🔍【思路分析】

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设 $P$ 高 $h$，${\tan }^2\theta =\frac{h^2}{625-40\sqrt{3}h+3h^2}$，将其视为关于 $h$ 的方程有解问题，判别式得 ${\tan }^2\theta \le \frac{25}{27}$，最大值 $\frac{5\sqrt{3}}{9}$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

地面 $ABC$ 中，$\angle ABC=90°$，$AB=15$，$AC=25$，故 $BC=\sqrt{25^2-15^2}=20$。

$P$ 在墙面内的射线 $CM$ 上，$\angle BCM=30°$（朝 $B$ 一侧）。设 $P$ 离地高度为 $h$，则 $P$ 在墙面内沿 $CB$ 方向到 $C$ 的水平距离为 $\sqrt{3}h$，$P$ 在地面上的射影到 $A$ 的水平距离的平方为

$A{B}^2+(BC-\sqrt{3}h{)}^2=225+(20-\sqrt{3}h{)}^2$。

于是 $\tan \theta =\frac{h}{\sqrt{225+(20-\sqrt{3}h{)}^2}}$，平方得

${\tan }^2\theta =\frac{h^2}{625-40\sqrt{3}h+3h^2}$。

把它看成关于 $h$ 的方程：$({\tan }^2\theta -3)h^2-40\sqrt{3}{\tan }^2\theta \cdot h+625{\tan }^2\theta =0$ 要有正数解，需判别式

$\Delta =(40\sqrt{3}{\tan }^2\theta {)}^2-4({\tan }^2\theta -3)\cdot 625{\tan }^2\theta \ge 0$。

约去 ${\tan }^2\theta >0$ 并整理：$4800{\tan }^2\theta \le 2500\times 3{\tan }^2\theta -2500\times 3+2500\times 3{\tan }^2\theta$，化简得 ${\tan }^2\theta \le \frac{25}{27}$。

所以 $\tan \theta \le \frac{5}{3\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{9}$，且等号在 $h=\frac{125\sqrt{3}}{12}$ 时取得。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：仰角问题的解三角形建模；用判别式求分式最值

2. 核心方法：“平方后视为主元方程有解”求最值

3. 避坑指南：先由 $AC$、$AB$ 用勾股求出 $BC=20$；$P$ 向 $B$ 一侧移动才有最大值，方向取反则 $\tan \theta$ 单调递减无从谈最大；判别式法中别忘 $\tan \theta >0$ 才能约去平方项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 以实际测量为背景的解三角形最值题，判别式法是这类”分式型”最值的通用武器。

2. 结论推广: 一般地，求 $\frac{h}{\sqrt{a{h}^2+bh+c}}$ 型最大值，设 $y$ 后整理成 $h$ 的二次方程，由 $\Delta \ge 0$ 解出 $y$ 的范围，同时检验 $h>0$ 可取。

3. 方法推广: 应用题最值三步：设变量建立分式模型 → 平方去根号 → 判别式（或换元、均值不等式）收口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-浙江卷理-17 填-仰角