2014-湖南卷文-09 单-比较大小

本题导读

在（A）（B）间比较差值大小不可行，应转向（C）（D）把两式化为同一函数。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 若 $0<x_1<x_2<1$，则()

A. $e^{x_2}-e^{x_1}>\ln x_2-\ln x_1$　　　　　　　　　　　　B. $e^{x_2}-e^{x_1}<\ln x_2-\ln x_1$

C. $x_2{e}^{x_1}>x_1{e}^{x_2}$　　　　　　　　　　　　　　D. $x_2{e}^{x_1}<x_1{e}^{x_2}$

🔍【思路分析】

破题导航

把（C）（D）化为 $\frac{e^{x_1}}{x_1}$ 与 $\frac{e^{x_2}}{x_2}$ 比较。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

（A）（B）中 $e^{x_2}-e^{x_1}$ 与 $\ln x_2-\ln x_1$ 无法直接比较（如 $x_1=\frac{1}{e^2}$、$x_2=\frac{1}{2}$ 时前者大于后者，而 $x_1=0.9$、$x_2=0.99$ 时相反），故排除。 对于（C）（D），将两式同除以 $x_1{x}_2$ 得 $\frac{e^{x_1}}{x_1}$ 与 $\frac{e^{x_2}}{x_2}$。设 $g(x)=\frac{e^x}{x}$，则 $g\acute{(}x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$，当 $0<x<1$ 时 $g\acute{(}x)<0$，$g$ 在 $(0,1)$ 上递减。由 $0<x_1<x_2<1$ 得 $g(x_1)>g(x_2)$，即 $\frac{e^{x_1}}{x_1}>\frac{e^{x_2}}{x_2}$，故 $x_2{e}^{x_1}>x_1{e}^{x_2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数、对数式比较大小

2. 核心方法：构造函数用单调性

3. 避坑指南：把 $x_2{e}^{x_1}$ 与 $x_1{e}^{x_2}$ 化为 $\frac{e^{x_1}}{x_1}$ 与 $\frac{e^{x_2}}{x_2}$，构造 $g(x)=\frac{e^x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上递减；$\ln x_2-\ln x_1$ 与 $e^{x_2}-e^{x_1}$ 的量级无法直接比，用「构造函数」而非估值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数式与对数式的大小比较。

2. 结论推广: $g(x)=\frac{e^x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上递减（$g\acute{(}x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}<0$）。

3. 方法推广: 比较大小优先考虑「同构化」：把两式整理成同一函数的两个取值，再用单调性比较自变量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-02 单-充分条件与必要条件
• 2014-山东卷理-16 解-向量坐标运算