2014-湖南卷文-13 填-线性规划

本题导读

画出可行域，顶点代入 $z=2x+y$。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y⩽x,\\ x+y⩽4,\\ y⩾1,\end{array}$ 则 $z=2x+y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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可行域顶点为 $(1,1)$、$(2,2)$、$(3,1)$。

✅【答案】

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$7$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件确定的可行域是以 $(1,1)$、$(2,2)$、$(3,1)$ 为顶点的三角形。代入 $z=2x+y$：在 $(1,1)$ 得 $3$，在 $(2,2)$ 得 $6$，在 $(3,1)$ 得 $7$，故最大值为 $7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值

2. 核心方法：顶点代入法

3. 避坑指南：可行域是三角形，三个顶点 $(1,1)$、$(2,2)$、$(3,1)$ 逐一验证即可；$z=2x+y$ 在 $(3,1)$ 处取到 $7$，最大值的等值线斜率正好斜穿可行域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二元一次不等式组与目标函数最值。

2. 结论推广: 约束 $y⩽x$、$x+y⩽4$、$y⩾1$ 围成三角形区域。

3. 方法推广: 线性规划问题也可用「目标函数变形为直线截距」的几何视角快速判断取最值的顶点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-14 填-线性规划
• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示