2014-福建卷理-21C 解-不等式选讲

本题导读

本题考查绝对值不等式的性质求最值，以及利用柯西不等式证明代数不等式，是选修4-5部分的典型综合题。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)=|x+1|+|x-2|$ 的最小值为 $a$.

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 若 $p,q,r$ 为正实数，且 $p+q+r=a$，求证：$p^2+q^2+r^2\ge 3$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（绝对值最值）：利用绝对值三角不等式 $|x-m|+|x-n|\ge |m-n|$。在几何意义上，这表示数轴上的点 $x$ 到 $-1$ 和 $2$ 的距离之和，当 $x$ 位于 $[-1,2]$ 之间时，距离之和最小。
2. 第二问（不等式证明）：已知 $p+q+r=3$，目标是证平方和 $p^2+q^2+r^2\ge 3$。这符合柯西不等式的结构，即 $(p^2+q^2+r^2)(1^2+1^2+1^2)\ge (p\cdot 1+q\cdot 1+r\cdot 1{)}^2$。

✅【答案】

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(1) 求 $a$ 的值；$a=3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a$ 的值 因为对于任意实数 $x$，由绝对值三角不等式得： $f(x)=|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|\ge |(x+1)+(2-x)|=3$ 当且仅当 $(x+1)(2-x)\ge 0$，即 $-1\le x\le 2$ 时，等号成立。 所以 $f(x)$ 的最小值为 $3$，即 $a=3$。

(2) 证明不等式 由(1)知 $a=3$，故 $p+q+r=3$。 根据柯西不等式： $(p^2+q^2+r^2)(1^2+1^2+1^2)\ge (p\times 1+q\times 1+r\times 1{)}^2$ 即： $3(p^2+q^2+r^2)\ge (p+q+r{)}^2$ 将 $p+q+r=3$ 代入上式得： $3(p^2+q^2+r^2)\ge 3^2=9$ 两边同时除以 $3$，得： $p^2+q^2+r^2\ge 3$ 当且仅当 $p=q=r=1$ 时，等号成立。 故原不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的性质与柯西不等式

2. 核心方法：用绝对值三角不等式求 $|x+1|+|x-2|$ 最小值，用柯西不等式证平方和

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值三角不等式与柯西不等式

2. 结论推广: $(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\ge (a+b+c{)}^2$。

3. 方法推广: 可迁移到绝对值最值与柯西不等式证明类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-24 解-不等式选讲
• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式
• 2025-上海卷-02 填-分式不等式