2014-辽宁卷理-17 解-向量数量积

本题导读

本题考查向量数量积、解三角形（正余弦定理）及三角恒等变换。第一问通过向量定义与余弦定理联立方程组求边长；第二问利用正弦定理及差角公式求特定三角函数值。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $a>c$，已知 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=2$，$\cos B=\frac{1}{3}$，$b=3$.求：

(1) $a$ 和 $c$ 的值；

(2) $\cos (B-C)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：联立求边
   • 利用向量数量积：根据 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos B=c\cdot a\cdot \cos B=2$，求出 $ac$ 的乘积。
   • 利用余弦定理：代入公式 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，建立关于 $a^2+c^2$ 的方程。
   • 解方程组：利用 $a+c$ 或 $a-c$ 辅助求解，结合条件 $a>c$ 确定唯一解。
2. 第二问：三角恒等变换
   • 求三角函数值：已知 $\cos B$，求出 $\sin B$；利用正弦定理求出 $\sin C$。
   • 确定角范围：根据边的大小关系判断 $C$ 为锐角，从而求出 $\cos C$。
   • 应用公式：展开 $\cos (B-C)=\cos B\cos C+\sin B\sin C$ 代入计算。

✅【答案】

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所以 $ac\cdot \frac{1}{3}=2⟹ac=6$。 ①

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=2$ 及向量数量积定义，得 $c\cdot a\cdot \cos B=2$。 又已知 $\cos B=\frac{1}{3}$， 所以 $ac\cdot \frac{1}{3}=2⟹ac=6$。 ①

在 $△ABC$ 中，由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $3^2=a^2+c^2-2\times 6\times \frac{1}{3}$ $9=a^2+c^2-4⟹a^2+c^2=13$。 ②

联立 ① ②： $\{\begin{array}{l}ac=6\\ a^2+c^2=13\end{array}⟹\{\begin{array}{l}(a+c{)}^2=13+12=25\\ (a-c{)}^2=13-12=1\end{array}$ 解得 $\{\begin{array}{l}a+c=5\\ a-c=1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}a+c=5\\ a-c=-1\end{array}$ 因为 $a>c$，所以 $a=3,c=2$。

(2) 解： 在 $△ABC$ 中，由 $\cos B=\frac{1}{3}$ 且 $B\in (0,\pi )$，得： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{2\times \frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。

因为 $a=b=3>c=2$，说明角 $B$ 为最大角或之一，则 $C$ 必为锐角。 $\cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=\sqrt{1-(\frac{4\sqrt{2}}{9}{)}^2}=\sqrt{1-\frac{32}{81}}=\frac{7}{9}$。

于是 $\cos (B-C)=\cos B\cos C+\sin B\sin C$ $=\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{9}$ $=\frac{7}{27}+\frac{16}{27}=\frac{23}{27}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数量积的定义式、余弦定理变形、正弦定理边角转换、差角余弦公式。

2. 核心方法：解三角形中若已知两边之积与两边平方和，通常利用完全平方公式转化为 $a\pm c$ 求解方程组。

3. 避坑指南：求 $\cos C$ 时务必通过边长关系判定 $C$ 是锐角，否则直接开方可能存在正负号讨论。在本题中 $b=a$，说明 $△ABC$ 是等腰三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角形中的边角不等关系、向量垂直的条件。

2. 结论推广: 向量 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的几何意义是 $a$ 在 $c$ 方向上的射影与 $c$ 的积，或反之。

3. 方法推广: 面对 $\cos (B\pm C)$ 类问题，若能直接求出各角的正余弦值，展开计算是最稳妥的办法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积