2014-重庆卷文-12 填-向量数量积

本题导读

先求 $|\mathbf{a}|$，再代 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，且 $\mathbf{a}=(-2,-6)$，$|\mathbf{b}|=\sqrt{10}$，则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=$　　　.

🔍【思路分析】

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$|\mathbf{a}|=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$，夹角 $60^{\circ }$ 的余弦为 $\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

$|\mathbf{a}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。 由数量积的定义， $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=2\sqrt{10}\times \sqrt{10}\times \frac{1}{2}=10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的数量积

2. 核心方法：数量积定义式代入

3. 避坑指南：$|\mathbf{a}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，$-6$ 的平方是 $36$，别漏加也别算成 $-36$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量的数量积。

2. 结论推广: $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$。

3. 方法推广: 数量积题先分别求模，再用定义式；坐标与非坐标信息混用时先统一。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-7
• 2014-大纲卷文-06 单-向量数量积