2014-重庆卷文-18 解-解三角形

本题导读

(1) 先由周长求 $c$，再用余弦定理；(2) 半角降幂展开，合并出 $\sin A+\sin B=3\sin C$，化边后联立。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $a+b+c=8$.

(1) 若 $a=2$，$b=\frac{5}{2}$，求 $\cos C$ 的值；

(2) 若 $\sin A{\cos }^2\frac{B}{2}+\sin B{\cos }^2\frac{A}{2}=2\sin C$，且 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{9}{2}\sin C$，求 $a$ 和 $b$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1) $c=8-\left(2+\frac{5}{2}\right)=\frac{7}{2}$，代入余弦定理；(2) 降幂后 $\sin A+\sin B=3\sin C$，得 $a+b=3c$，再由面积定 $ab$。

✅【答案】

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(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $a=b=3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $c=8-\left(2+\frac{5}{2}\right)=\frac{7}{2}$。由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+\frac{25}{4}-\frac{49}{4}}{2\times 2\times \frac{5}{2}}=\frac{4-6}{10}=-\frac{1}{5}$。 (2) 由 ${\cos }^2\frac{B}{2}=\frac{1+\cos B}{2}$，原式化为 $\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin A\cos B+\sin B+\sin B\cos A\right)=2\sin C$， 即 $\sin A+\sin B+\sin (A+B)=4\sin C$。 又 $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$，故 $\sin A+\sin B=3\sin C$。 由正弦定理得 $a+b=3c$；与 $a+b+c=8$ 联立得 $c=2$，$a+b=6$。 由 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{9}{2}\sin C$ 得 $ab=9$。 于是 $a$，$b$ 是方程 $t^2-6t+9=0$ 的两根，$(t-3{)}^2=0$，故 $a=b=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理、正弦定理与面积公式

2. 核心方法：半角降幂化简、边角互化

3. 避坑指南：★本卷合集答案把 (2) 误作”$a=3$，$b=5$“，与 $a+b=6$、$ab=9$ 矛盾；正确答案是 $a=b=3$。$\sin (A+B)=\sin C$ 这一步用的是三角形内角和，别误化成 $-\sin C$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形（余弦定理、正弦定理、面积公式）。

2. 结论推广: $\sin A{\cos }^2\frac{B}{2}+\sin B{\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{2}$；$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。

3. 方法推广: 边角混合等式先用降幂公式与和角公式化简，再统一用正弦定理化边，最后联立方程组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-13 填-解三角形
• 2014-安徽卷文-16 解-解三角形