2014-陕西卷文-18 解-向量与规划

本题导读

(1) 直接代入坐标计算模长；(2) 坐标化解出 $m$、$n$ 与 $x$、$y$ 的关系，把 $m-n$ 化为 $y-x$ 后用线性规划求最值。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(1,1)$，$B(2,3)$，$C(3,2)$，点 $P(x,y)$ 在 $△ABC$ 三边围成的区域（含边界）上，且 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（$m$，$n\in \mathbf{R}$）.

(1) 若 $m=n=\frac{2}{3}$，求 $|\overrightarrow{OP}|$；

(2) 用 $x$，$y$ 表示 $m-n$，并求 $m-n$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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(1) $\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}(1,2)+\frac{2}{3}(2,1)=(2,2)$；(2) 两式相减得 $m-n=y-x$，在顶点处取最值。

✅【答案】

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(1) $|\overrightarrow{OP}|=2\sqrt{2}$；(2) $m-n=y-x$，最大值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,1)$。 当 $m=n=\frac{2}{3}$ 时，$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}(1,2)+\frac{2}{3}(2,1)=(2,2)$，所以 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 (2) 设 $P(x,y)$，则 $(x,y)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n)$，即 $\{\begin{array}{l}x=m+2n,\\ y=2m+n.\end{array}$ 两式相减得 $y-x=m-n$，即 $m-n=y-x$。 令 $t=y-x$，它表示斜率为 $1$ 的平行直线族 $y=x+t$。在 $△ABC$ 区域（含边界）内平移，直线过顶点 $B(2,3)$ 时 $t$ 最大，此时 $t=3-2=1$；顶点 $A(1,1)$、$C(3,2)$ 处分别为 $0$、$-1$。 所以 $m-n$ 的最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标运算与线性规划

2. 核心方法：坐标化成方程组，把目标写成线性式再平移

3. 避坑指南：$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ 坐标化得 $x=m+2n$，$y=2m+n$，两式相减即 $m-n=y-x$；把 $y-x=t$ 看成直线族平移，过顶点 $B(2,3)$ 时最大，$t=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量的坐标运算与线性规划。

2. 结论推广: $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ 坐标化即 $\{\begin{array}{l}x=m+2n,\\ y=2m+n.\end{array}$；一次目标函数的最值在区域顶点处取得。

3. 方法推广: 向量等式含参数时先坐标化为方程组，把目标表示成 $x,y$ 的线性式，再用顶点法（或平移直线）求最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-18 解-向量坐标运算
• 2014-新课标I卷文-11 单-线性规划