2015-上海卷文-06 填-棱柱体积

本题导读

考查正三棱柱的体积。正三棱柱的”高”就是侧棱长，底面是正三角形，套体积公式即可。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 若正三棱柱的所有棱长均为 $a$，且其体积为 $16\sqrt{3}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正三角形面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。
2. 正三棱柱的高 $h=a$（所有棱长相等）。
3. 由 $V=Sh$ 列方程解 $a$。

✅【答案】

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$a=4$

✍【详细解析】

Abstract

底面为正三角形，面积

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2.$

正三棱柱的侧棱垂直于底面且长为 $a$，故高 $h=a$，体积

$V=Sh=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3.$

由 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3=16\sqrt{3}$ 得 $a^3=64$，即 $a=4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正棱柱的结构特征与体积公式。

2. 核心方法：“正”意味着底面是正多边形、侧棱垂直于底面，故高可直接取侧棱长。

3. 避坑指南：不要把正三角形面积写成 $\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$ 或 $\frac{1}{2}{a}^2$；也注意”所有棱长均为 $a$“已同时给出底边与高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：空间几何体的表面积与体积是必考基础题，常以填空题形式出现。

2. 结论推广: 若改为”正四棱柱”且所有棱长为 $a$，则 $V=a^3$；若只给底面边长与体积，则高需另求。

3. 方法推广: “底面积 × 高”是棱柱体积的通用算法，难点永远在”高在哪、怎么求”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-4