2015-上海卷文-07 填-抛物线焦半径

本题导读

考查抛物线上点到焦点距离的最小值。用焦半径公式转化为 $x_Q$ 的范围问题，一眼可解。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上的动点 $Q$ 到焦点的距离的最小值为 $1$，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线为 $x=-\frac{p}{2}$。
2. 由抛物线定义（或焦半径公式）得 $|QF|=x_Q+\frac{p}{2}$。
3. 因为 $x_Q⩾0$，最小值在 $x_Q=0$ 处取得。

✅【答案】

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$p=2$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线定义，$|QF|$ 等于 $Q$ 到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离：

$|QF|=x_Q+\frac{p}{2}.$

因为 $x_Q⩾0$，故当 $x_Q=0$（即 $Q$ 为顶点）时取最小值 $\frac{p}{2}$。

由 $\frac{p}{2}=1$ 得 $p=2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义、焦点与准线、焦半径。

2. 核心方法：“到焦点的距离 ⟶ 到准线的距离”，把焦点问题转化为水平距离。

3. 避坑指南：$y^2=2px$ 的焦点是 $\left(\frac{p}{2},0\right)$ 而不是 $(p,0)$ —— $2p$ 才是”焦准距”，容易多乘因子 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：抛物线小题集中在定义与焦半径，是”定义法”命题的经典载体。

2. 结论推广: 对 $y^2=2px$ 上点 $Q$，$|QF|=x_Q+\frac{p}{2}$；对 $x^2=2py$ 则有 $|QF|=y_Q+\frac{p}{2}$，注意区分开口方向。

3. 方法推广: “看到焦点想准线”，是抛物线一切距离问题的第一反应。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-5