2015-上海卷文-09 填-线性规划

本题导读

考查线性规划。可行域是三角形，目标函数的最值必在顶点取得，算出三个顶点代入比较即可。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 若 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y⩾0,\\ x+y⩽2,\\ y⩾0,\end{array}$ 则目标函数 $f=x+2y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 逐条画出半平面，取交集得可行域。
2. 求出可行域的三个顶点。
3. 把顶点坐标代入 $f=x+2y$，取最大者。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界线为 $x-y=0$、$x+y=2$、$y=0$，两两求交得三个顶点：

$x-y=0\text{与}y=0:(0,0);x-y=0\text{与}x+y=2:(1,1);x+y=2\text{与}y=0:(2,0).$

三个顶点均满足全部约束，故可行域为该三角形。代入目标函数：

$f(0,0)=0,f(1,1)=3,f(2,0)=2.$

所以最大值为 $3$，在点 $(1,1)$ 处取得。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式表示平面区域；线性目标函数的最值。

2. 核心方法：画可行域 → 求顶点 → 代入比较。

3. 避坑指南：务必把三条直线的两两交点全部回代三组约束”验可行”，不可行的顶点要剔除；本题三个顶点均可行，但不是所有题都如此。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：线性规划曾是上海卷填空题的固定成员，考查数形结合的入门功。

2. 结论推广: 若目标函数改为 $z=x+2y$ 的相反数或含参数 $f=x+ky$，最值顶点会随 $k$ 的变化而切换，需按斜率分类讨论。

3. 方法推广: “线性目标函数在凸多边形可行域上的最值必在顶点取得”，这是线性规划全部技巧的来源。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2016-上海卷文-7