2015-上海卷文-12 填-双曲线的渐近线

本题导读

考查双曲线的渐近线与”顶点重合”这一几何条件。抓住”顶点重合 ⟹ 实半轴 $a$ 相同”即可快速定参。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 已知双曲线 $C_1$，$C_2$ 的顶点重合，$C_1$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$，若 $C_2$ 的一条渐近线的斜率是 $C_1$ 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 $C_2$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $C_1:\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 读出 $a_1=2$、$b_1=1$，渐近线斜率 $\pm \frac{1}{2}$。
2. $C_2$ 与 $C_1$ 顶点重合，故 $a_2=a_1=2$。
3. 由斜率 2 倍关系定出 $b_2$，写出方程。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

对 $C_1:\frac{x^2}{4}-y^2=1$，有 $a_1=2$，$b_1=1$，其渐近线为

$y=\pm \frac{b_1}{a_1}x=\pm \frac{1}{2}x.$

因为 $C_1$、$C_2$ 的顶点重合，且顶点即 $x$ 轴上的 $a$ 端点，所以 $a_2=a_1=2$。

设 $C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b_2^2}=1$，其渐近线斜率绝对值为 $\frac{b_2}{2}$。由题意

$\frac{b_2}{2}=2\times \frac{1}{2}=1⟹b_2=2.$

故 $C_2$ 的方程为

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的标准方程、渐近线方程、顶点坐标。

2. 核心方法：“顶点重合”翻译为 $a$ 相同；“渐近线斜率比”翻译为 $\frac{b}{a}$ 之比。

3. 避坑指南：“顶点”是 $x$ 轴上 $(\pm a,0)$ 那两点，不是焦点，不要把重合条件误读成 $c$ 相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线小题常以”共顶点""共焦点""渐近线成角”等几何条件设问，考查对参数的几何理解。

2. 结论推广: 若条件改为”焦点重合”，则应保持 $c^2=a^2+b^2$ 不变；若改为”离心率互为倒数”，则需用 $e=\frac{c}{a}$ 联立。

3. 方法推广: “几何条件 ⟶ 参数关系”是圆锥曲线一切定参问题的通用翻译表。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-9
• 2016-上海卷文-21