2015-上海卷理-05 填-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线的定义。通过抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离这一核心性质，寻找距离最小值的几何位置，从而求解参数 $p$。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 上的动点 $Q$ 到焦点的距离的最小值为 1，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解抛物线定义：抛物线上任意一点到焦点的距离 $d_1$ 等于该点到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离 $d_2$。
2. 建立距离表达式：设动点 $Q(x,y)$，由定义知 $|QF|=x+\frac{p}{2}$。
3. 寻找最小值：由于点 $Q$ 在抛物线上，其横坐标 $x\ge 0$。易知，当 $x$ 取最小值时，距离最小。
4. 确定几何位置：当点 $Q$ 位于抛物线顶点 $(0,0)$ 时，$x=0$ 取得最小值。此时顶点到焦点的距离即为焦半径的最小值。
5. 列式求解：令最小距离 $\frac{p}{2}=1$，解出 $p$。

✅【答案】

点击查看答案

2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用抛物线定义转化距离 对于抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$)，其焦点为 $F(\frac{p}{2},0)$，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 设抛物线上动点为 $Q(x,y)$，根据抛物线的定义可知，点 $Q$ 到焦点的距离 $|QF|$ 等于点 $Q$ 到准线的距离： $|QF|=x-(-\frac{p}{2})=x+\frac{p}{2}$

第二步：求距离的最小值 因为点 $Q(x,y)$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，且 $p>0$，所以 $x=\frac{y^2}{2p}\ge 0$。 当 $x=0$（即点 $Q$ 在原点/顶点处）时，$|QF|$ 取得最小值： $|QF{|}_{min}=0+\frac{p}{2}=\frac{p}{2}$

第三步：结合已知条件求解 已知最小值为 1，则有： $\frac{p}{2}=1$ 解得： $p=2$

答案：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线的定义；焦半径公式 $r=x+\frac{p}{2}$（开口向右时）。
• 核心方法：定义法。将“到焦点的距离”转化为“到准线的距离”是处理抛物线焦半径问题的万能钥匙。
• 避坑指南：确保分清准线位置。对于 $y^2=2px$ 型，顶点到准线和焦点的距离均为 $\frac{p}{2}$，这个距离就是焦半径的最小阈值。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于开口向右的抛物线 $y^2=2px$，点 $P(x_0,y_0)$ 到焦点距离为 $x_0+\frac{p}{2}$；对于开口向上的抛物线 $x^2=2py$，点到焦点距离为 $y_0+\frac{p}{2}$。

• 相关知识点：抛物线的离心率 $e=1$、通径长度 $2p$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2022-高考上海卷-5
• 2024-上海卷-07 填-抛物线的定义
• 2023-上海卷-20 解-抛物线综合