2015-上海卷理-12 填-分布列

本题导读

本题通过博弈规则考查离散型随机变量期望的计算。核心在于准确识别两阶段摸球过程对应的随机变量取值及其概率。第一阶段为等可能取值，第二阶段需通过列举或组合数计算两数差绝对值的概率分布。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $E{\xi }_1-E{\xi }_2=$ $\underline{}$（元）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析赌金 ${\xi }_1$：
   • 摸取 1 张卡片，数字可能为 1, 2, 3, 4, 5。
   • 这是一个离散型随机变量，且各取值的概率均为 $\frac{1}{5}$。
   • 利用期望公式 $E{\xi }_1=\sum x_i{p}_i$ 计算。
2. 分析奖金 ${\xi }_2$：
   • 从 5 张卡片中任取 2 张，总情况数为 $C_5^2=10$。
   • 设两数之差的绝对值为 $X$。我们需要枚举 $X$ 的所有可能取值（1, 2, 3, 4）及其出现的频数。
   • 奖金 ${\xi }_2=1.4X$，根据期望的线性性质 $E(1.4X)=1.4EX$。
   3. 计算差值：求出 $E{\xi }_1$ 和 $E{\xi }_2$ 后作差。

✅【答案】

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0.2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算赌金的期望 $E{\xi }_1$ ${\xi }_1$ 的分布列为：

${\xi }_1$	1	2	3	4	5
$P$	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

$E{\xi }_1=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$

第二步：计算奖金的期望 $E{\xi }_2$ 从 $\{1,2,3,4,5\}$ 中随机摸取两张，样本空间大小为 $C_5^2=10$。 设两数之差绝对值为 $X$，所有可能的两数对 $(a,b)$ 如下：

• $X=1$ 的组合：$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)$，共 4 对； $P(X=1)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
• $X=2$ 的组合：$(1,3),(2,4),(3,5)$，共 3 对； $P(X=2)=\frac{3}{10}$
• $X=3$ 的组合：$(1,4),(2,5)$，共 2 对； $P(X=3)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
• $X=4$ 的组合：$(1,5)$，共 1 对； $P(X=4)=\frac{1}{10}$

计算 $X$ 的期望： $EX=1\times \frac{4}{10}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{2}{10}+4\times \frac{1}{10}=\frac{4+6+6+4}{10}=2$ 根据题意，奖金 ${\xi }_2=1.4X$，则： $E{\xi }_2=1.4\times EX=1.4\times 2=2.8$

第三步：求差值 $E{\xi }_1-E{\xi }_2=3-2.8=0.2$

答案：0.2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：离散型随机变量分布列的建立；期望的定义与线性性质 $E(aX)=aEX$。
• 核心方法：枚举法。在处理样本空间较小（如本题的 10 种情况）的问题时，罗列所有情况并分类计数是最可靠的方法。
• 避坑指南：
  1. 区分“放回”与“不放回”：第一步是放回，第二步是不放回摸两张。
  2. 不要忘记奖金公式中的系数 1.4。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 这一结果（0.2 > 0）从数学上揭示了赌博的陷阱：长期参与下，赌客的平均支出（赌金期望）高于平均收入（奖金期望），最终必然亏损。

• 相关知识点：方差的计算、正态分布、大数定律。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练(Links)

• 2023-上海卷-12 填-正四棱锥计数
• 2011-上海卷理-12
• 2008-上海卷理-12