2015-上海卷理-17 单-根的判别式

本题导读

本题考查等比数列性质与一元二次方程判别式的综合运用。核心在于将方程根的存在性转化为关于系数 $a_n$ 的不等式，并通过等比中项的关系进行不等式的传递推导。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 记方程①：$x^2+a_{1}x+1=0$，方程②：$x^2+a_{2}x+2=0$，方程③：$x^2+a_{3}x+4=0$，其中 $a_1,a_2,a_3$ 是正实数.当 $a_1,a_2,a_3$ 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是 ()

A. 方程①有实根，且②有实根　　　　　B. 方程①有实根，且②无实根

C. 方程①无实根，且②有实根　　　　　D. 方程①无实根，且②无实根

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化方程根的条件：
   • 方程①有实根 $⟺{\Delta }_1=a_1^2-4\ge 0⟹a_1^2\ge 4$。
   • 方程②无实根 $⟺{\Delta }_2=a_2^2-8<0⟹a_2^2<8$。
   • 方程③无实根 $⟺{\Delta }_3=a_3^2-16<0⟹a_3^2<16$。
   2. 利用等比数列性质：
   • 因为 $a_1,a_2,a_3$ 成等比数列，所以 $a_2^2=a_1{a}_3$。
   • 平方得 $a_2^4=a_1^2{a}_3^2$，从而 $a_3^2=\frac{a_2^4}{a_1^2}$。
2. 不等式逻辑推导：
   • 目标是证明 $a_3^2<16$。
   • 利用已知条件寻找 $a_2^4$ 的上限和 $a_1^2$ 的下限。
   • 观察选项 B：若 $a_1^2\ge 4$ 且 $a_2^2<8$，则 $a_2^4<64$。
   • 组合不等式：$a_3^2=\frac{a_2^4}{a_1^2}<\frac{64}{4}=16$。
   • 结论：选项 B 成立。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出各方程无实根或有实根的判别条件 设 $a_1,a_2,a_3$ 的公比为 $q$ ($q>0$)，则 $a_2=a_{1}q,a_3=a_1{q}^2$。 等比中项性质：$a_2^2=a_1{a}_3⟹a_3=\frac{a_2^2}{a_1}$。 进一步得出：$a_3^2=\frac{a_2^4}{a_1^2}$。

• 方程③无实根的充要条件是：$a_3^2-4\times 4<0⟹a_3^2<16$。

第二步：逐项验证

• 针对选项 B： 若方程①有实根，则 $a_1^2-4\ge 0⟹a_1^2\ge 4$。 若方程②无实根，则 $a_2^2-8<0⟹a_2^2<8⟹a_2^4<64$。 由于 $a_3^2=\frac{a_2^4}{a_1^2}$，分子小于 64，分母大于等于 4， 则 $a_3^2<\frac{64}{4}=16$。 这正好满足方程③无实根的条件。故选 B

• 针对选项 C： 若①无实根（$a_1^2<4$），②有实根（$a_2^2\ge 8⟹a_2^4\ge 64$）， 则 $a_3^2=\frac{a_2^4}{a_1^2}>\frac{64}{4}=16$。 此时方程③必有实根，与要求相反。

• 针对选项 A, D： 由于不等式的方向不一致（如 A 项中 $a_2^2$ 较大，$a_1^2$ 也较大，比值不确定），无法得出确定的结论。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次方程根的判别式 $\Delta =b^2-4ac$；等比中项性质 $a_2^2=a_1{a}_3$。
• 核心方法：等量代换与不等式放缩。解题的关键在于用 $a_1,a_2$ 表达出 $a_3$，从而利用前两个方程的已知范围去推导第三个。
• 避坑指南：注意“无实根”对应的是严格小于号（$<$），“有实根”对应的是大于等于号（$\ge$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若三组方程系数成等比，其根的性质往往可以通过公比 $q$ 的范围来统一刻画。

• 相关知识点：基本不等式、等比数列的前 $n$ 项和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

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