2015-上海卷理-22 解-数列通项

本题导读

本题是上海卷的最后一道压轴题，综合性极强。第一问考查基础的通项公式推导；第二问考查通过构造辅助数列（常数列）证明单调性与最值的关联；第三问是全卷难点，考查负底数指数结构的震荡特性及其最值的存在条件，需要严谨的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 满足 $a_{n+1}-a_n=2(b_{n+1}-b_n)$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 若 $b_n=3n+5$，且 $a_1=1$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $\{a_n\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项，即 $a_{n_0}\ge a_n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），求证：数列 $\{b_n\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项；

(3) 设 $a_1=\lambda <0$，$b_n={\lambda }^n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），求 $\lambda$ 的取值范围，使得 $\{a_n\}$ 有最大值 $M$ 与最小值 $m$，且 $\frac{M}{m}\in (-2,2)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）问思路：
   • 根据 $b_n$ 求出 $b_{n+1}-b_n=3$。
   • 代入已知等式得 $a_{n+1}-a_n=6$，判定 $\{a_n\}$ 为等差数列，直接写出通项。
2. （2）问思路：
   • 构造常数列：变形已知等式得 $a_{n+1}-2b_{n+1}=a_n-2b_n$。
   • 这说明数列 $\{a_n-2b_n\}$ 是常数列，设常数为 $C$。
   • 建立 $a_n$ 与 $b_n$ 的代数关系：$a_n=2b_n+C$。
   • 利用线性性质证明：若 $a_{n_0}$ 最大，则 $b_{n_0}$ 必最大。
3. （3）问思路：
   • 累加法求通项：由 $a_{n+1}-a_n=2({\lambda }^{n+1}-{\lambda }^n)$，利用累加法结合等比数列求和的思想求出 $a_n=2{\lambda }^n-\lambda$。
     • 分析震荡性：由于 $\lambda <0$，${\lambda }^n$ 会在正负值之间交替震荡。
     • 若 $\lambda \le -1$：项的绝对值不趋于 0 且发散，不存在最大最小值。
     • 若 $-1<\lambda <0$：数列会趋于定值 $-\lambda$，存在最值。
   • 分类讨论最值位置：在区间 $(-1,0)$ 内，偶数项为正，奇数项为负。根据指数函数的单调性，确定 $M$ 和 $m$ 的具体项，代入不等式求解。

✅【答案】

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综上所述，$\lambda$ 的取值范围是 $(-\frac{1}{2},0)$

✍【详细解析】

Abstract

（I）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

因为 $b_n=3n+5$，所以 $b_{n+1}-b_n=3(n+1)+5-(3n+5)=3$。 代入 $a_{n+1}-a_n=2(b_{n+1}-b_n)$ 得： $a_{n+1}-a_n=2\times 3=6$ 所以 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=1$，公差 $d=6$ 的等差数列。 $a_n=1+(n-1)\times 6=6n-5$

（II）证明：$\{b_n\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项

由 $a_{n+1}-a_n=2b_{n+1}-2b_n$，移项得： $a_{n+1}-2b_{n+1}=a_n-2b_n$ 说明数列 $\{a_n-2b_n\}$ 是常数列。 设 $a_n-2b_n=a_1-2b_1$，即 $a_n=2b_n+a_1-2b_1$。 因为 $\{a_n\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项，所以对于任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，有 $a_{n_0}\ge a_n$。 即 $2b_{n_0}+a_1-2b_1\ge 2b_n+a_1-2b_1$。 化简得 $2b_{n_0}\ge 2b_n⟹b_{n_0}\ge b_n$。 所以 $\{b_n\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项。

（III）求 $\lambda$ 的取值范围

由 $a_{n+1}-a_n=2({\lambda }^{n+1}-{\lambda }^n)$，采用累加法： 当 $n\ge 2$ 时， $a_n=a_1+{\sum }_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=\lambda +2{\sum }_{i=1}^{n-1}({\lambda }^{i+1}-{\lambda }^i)$ $a_n=\lambda +2({\lambda }^n-{\lambda }^1)=2{\lambda }^n-\lambda$ 当 $n=1$ 时，$a_1=2\lambda -\lambda =\lambda$，公式同样适用。故 $a_n=2{\lambda }^n-\lambda$。

因为 $\lambda <0$，设 $\lambda =-k$ ($k>0$)。 则 $a_n=2(-k{)}^n+k$。

1. 若 $k\ge 1$（即 $\lambda \le -1$）： 当 $n$ 为偶数时，$a_n=2k^n+k$ 随 $n$ 增大而趋于 $+\infty$； 当 $n$ 为奇数时，$a_n=-2k^n+k$ 随 $n$ 增大而趋于 $-\infty$。 此时数列 $\{a_n\}$ 不存在最大值或最小值。
2. 若 $0<k<1$（即 $-1<\lambda <0$）： 奇数项 $a_{2n-1}=2{\lambda }^{2n-1}-\lambda$ 为负。因为 $|\lambda |<1$，${\lambda }^{2n-1}$ 随 $n$ 增大而增大（趋于 0），故 $a_1=\lambda$ 是最小值，即 $m=\lambda$。 偶数项 $a_{2n}=2{\lambda }^{2n}-\lambda$ 为正。因为 $|\lambda |<1$，${\lambda }^{2n}$ 随 $n$ 增大而减小（趋于 0），故 $a_2=2{\lambda }^2-\lambda$ 是最大值，即 $M=2{\lambda }^2-\lambda$。

由题意 $\frac{M}{m}\in (-2,2)$，代入得： $-2<\frac{2{\lambda }^2-\lambda }{\lambda }<2$ 因为 $\lambda <0$，上式等价于： $-2<2\lambda -1<2⟹-1<2\lambda <3⟹-\frac{1}{2}<\lambda <\frac{3}{2}$ 结合已知条件 $-1<\lambda <0$，取交集得： $-\frac{1}{2}<\lambda <0$

综上所述，$\lambda$ 的取值范围是 $(-\frac{1}{2},0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：累加法求通项；构造辅助数列证明性质；震荡数列的最值分析。
• 核心方法：分类讨论法。对于 $a^n$ 结构，底数 $a$ 的正负及绝对值与 1 的大小关系决定了数列的根本形态。
• 避坑指南：
  1. 第三问中求出 $a_n=2{\lambda }^n-\lambda$ 后，务必讨论 $\lambda$ 范围。若 $\lambda \le -1$，极限不存在，最值亦不存在。
  2. 计算 $\frac{M}{m}$ 时，因为分母 $\lambda <0$，不等号方向需要特别注意。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于震荡数列 $a_n=c\cdot q^n+d$ ($q<0$)，若 $|q|<1$，则最值通常出现在前两项。

• 相关知识点：数列极限的定义、单调有界准则。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2001-上海卷理-22 解-函数的迭代与映射
• 2013年上海卷理-22
• 2012年上海卷理-22