2015-上海卷理-23 解-余弦函数

本题导读

本题是 2015 年上海卷的最终压轴题，属于“新定义”函数问题。考查学生对新定义的理解、转化与运用。第一问是基础验证；第二问结合单调性考查介值性质的证明；第三问是全卷最难点，需要严密的逻辑推导和分段区间的精细化讨论，通过周期性与单调性的结合完成证明。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 对于定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $g(x)$，若存在正常数 $T$，使得 $\cos g(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 $T$ 为其余弦周期.已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 $\mathbb{R}$.设 $f(x)$ 单调递增，$f(0)=0,f(T)=4\pi$.

(1) 验证 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$ 是以 $6\pi$ 为周期的余弦周期函数；

(2) 设 $a<b$.证明对任意 $c\in [f(a),f(b)]$，存在 $x_0\in [a,b]$，使得 $f(x_0)=c$；

(3) 证明：“$u_0$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[0,T]$ 上得解”的充要条件是“$u_0+T$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[T,2T]$ 上有解”，并证明对任意 $x\in [0,T]$ 都有 $f(x+T)=f(x)+f(T)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）问思路：
   • 根据定义，需验证 $\cos h(x+6\pi )=\cos h(x)$。
   • 利用诱导公式 $\cos (A+2k\pi )=\cos A$ 进行转化。
2. （2）问思路：
   • 题目已知 $f(x)$ 连续单调递增且值域为 $\mathbb{R}$，这实际上是在考察连续函数的介值定理。
   • 利用反证法：假设不存在这样的 $x_0$，结合单调性会产生定义域或值域的矛盾。
3. （3）问思路：
   • 充要条件证明：利用 $T$ 是余弦周期，即 $\cos f(x+T)=\cos f(x)$，直接代入 $u_0$ 即可证明两向推导。
   • 恒等式证明：这是全卷的难点。
     • 首先分析 $\cos f(x)=1$ 在 $[0,T]$ 内的解，由于 $f(0)=0,f(T)=4\pi$ 且 $f(x)$ 递增，由第（2）问结论，在 $[0,T]$ 内 $f(x)$ 必经过 $0,2\pi ,4\pi$，这些点都是方程的解。
     • 结合 $\cos f(x+T)=\cos f(x)$，说明 $f(x+T)$ 与 $f(x)$ 的波动完全同步。
     • 通过分段区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 讨论，利用余弦函数的单调性得出 $f(x+T)=f(x)+4\pi$。

✅【答案】

点击查看答案

因为 $f(T)=4\pi$，所以 $f(x+T)=f(x)+f(T)$ 对任意 $x\in [0,T]$ 均成立

✍【详细解析】

Abstract

(1) 验证 $h(x)$ 已知 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$。 对于任意 $x\in \mathbb{R}$： $h(x+6\pi )=x+6\pi +\sin \frac{x+6\pi }{3}=x+6\pi +\sin (\frac{x}{3}+2\pi )=x+6\pi +\sin \frac{x}{3}=h(x)+6\pi$。 则 $\cos h(x+6\pi )=\cos (h(x)+6\pi )$。 根据余弦函数的周期性，$\cos (A+6\pi )=\cos A$， 所以 $\cos h(x+6\pi )=\cos h(x)$。 故 $h(x)$ 是以 $6\pi$ 为周期的余弦周期函数。

(2) 证明介值性 由于 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}$ 且单调递增，说明 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的双射（且是连续的）。 对于任意 $c\in [f(a),f(b)]$，必存在唯一的 $x_0\in \mathbb{R}$ 使得 $f(x_0)=c$。 若 $x_0<a$，由单调递增得 $f(x_0)<f(a)$，与 $c\ge f(a)$ 矛盾。 若 $x_0>b$，由单调递增得 $f(x_0)>f(b)$，与 $c\le f(b)$ 矛盾。 因此，必有 $x_0\in [a,b]$。

(3) 证明充要条件与恒等式 第一部分：充要条件证明 因为 $f(x)$ 以 $T$ 为余弦周期，所以 $\cos f(x+T)=\cos f(x)$ 对任意 $x$ 成立。

• 若 $u_0$ 满足 $\cos f(u_0)=1$ 且 $u_0\in [0,T]$， 则 $\cos f(u_0+T)=\cos f(u_0)=1$。又 $u_0+T\in [T,2T]$， 故 $u_0+T$ 是方程在 $[T,2T]$ 上的解。
• 反之亦然。故充要条件成立。

第二部分：证明 $f(x+T)=f(x)+f(T)$ 由 (2) 知，存在 $0=x_0<x_1<x_2<x_3<x_4=T$， 使得 $f(x_i)=i\pi$ ($i=0,1,2,3,4$)。 此时 $\cos f(x_i)=(-1{)}^i$。 由余弦周期的定义及充要条件，这些点对应的 $x_i+T$ 也是 $\cos f(x)=\pm 1$ 在 $[T,2T]$ 上的解。 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上，$\cos f(x)$ 是单调的。 考虑到 $\cos f(x+T)=\cos f(x)$ 且 $f(x)$ 递增， 在区间 $[0,x_1]$ 上，$f(x)\in [0,\pi ]$，而 $f(x+T)$ 必须落在使余弦值相同的区间 $[4\pi ,5\pi ]$ 内。 因此 $\cos f(x+T)=\cos f(x)⟹f(x+T)=f(x)+4\pi$（在对应单调区间内反余弦值唯一）。 因为 $f(T)=4\pi$，所以 $f(x+T)=f(x)+f(T)$ 对任意 $x\in [0,T]$ 均成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：新定义理解（将余弦周期转化为余弦值的周期性）；连续函数介值性；复合函数的单调区间讨论。
• 核心方法：逻辑演绎法。压轴题不仅考查计算，更考查逻辑推理。通过将大区间化为小区间，利用函数在小区间上的单调性排除多解情况。
• 避坑指南：第三问的恒等式证明中，不能直接去掉 $\cos$，必须结合 $f(x)$ 的单调性范围来说明 $f(x+T)$ 只能比 $f(x)$ 多出整倍数的 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $f(x)$ 递增且 $\cos f(x)$ 为周期函数，则 $f(x)$ 必呈现“线性 + 周期微调”的结构，如 $f(x)=kx+\varphi (x)$。

• 相关知识点：反三角函数、初等泛函方程思想。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2014-上海卷理-23 解-数列递推关系与不等式
• 2013年上海卷理-23
• 2012年上海卷理-23