2015-北京卷文-18 解-线面平行

本题导读

本题综合考查立体几何中的线面平行判定、面面垂直判定以及几何体体积的计算，重点考查空间想象与推理论证能力。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 如图，在三棱锥 $V-ABC$ 中，平面 $VAB\perp$ 平面 $ABC$，$△VAB$ 为等边三角形，$AC\perp BC$ 且 $AC=BC=\sqrt{2}$，$O,M$ 分别为 $AB,VA$ 的中点.

(1) 求证：$VB\parallel$ 平面 $MOC$；

(2) 求证：平面 $MOC\perp$ 平面 $VAB$；

(3) 求三棱锥 $V-ABC$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 利用中点构造中位线：在 $△VAB$ 中，$MO$ 是中位线，得 $MO\parallel VB$，进而证得线面平行。
2. 利用等腰三角形性质得 $CO\perp AB$，再由面面垂直性质定理推导 $CO\perp$ 平面 $VAB$，最后利用面面垂直判定定理得证。
3. 确定锥体高为 $VO$（由平面垂直性质可得），计算底面积 $S_{△ABC}$，代入锥体体积公式求解。

✅【答案】

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𝑉𝐵∥平面𝑀𝑂𝐶；平面𝑀𝑂𝐶⟂平面𝑉𝐴𝐵；三棱锥𝑉−𝐴𝐵𝐶的体积为√33.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：在 $△VAB$ 中，因为 $O,M$ 分别为 $AB,VA$ 的中点， 所以 $MO$ 为 $△VAB$ 的中位线，从而 $MO\parallel VB$。 又因为 $MO\subset$ 平面 $MOC$，$VB\not\subset$ 平面 $MOC$， 所以 $VB\parallel$ 平面 $MOC$。

(2) 证明：在 $△ABC$ 中，因为 $AC=BC$，$O$ 为 $AB$ 中点， 所以 $CO\perp AB$。 已知平面 $VAB\perp$ 平面 $ABC$，且平面 $VAB\cap$ 平面 $ABC=AB$，$CO\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $CO\perp$ 平面 $VAB$。 又因为 $CO\subset$ 平面 $MOC$， 所以平面 $MOC\perp$ 平面 $VAB$。

(3) 在 Rt$△ABC$ 中，$AC=BC=\sqrt{2}$，$\angle ACB=90^{\circ }$， 所以 $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=2$， 底面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=1$。 因为 $△VAB$ 为等边三角形，$O$ 为 $AB$ 中点， 所以 $VO\perp AB$，且 $VO=\sqrt{V{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 由平面 $VAB\perp$ 平面 $ABC$，得 $VO\perp$ 平面 $ABC$，即 $VO$ 为三棱锥的高。 三棱锥 $V-ABC$ 的体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot VO=\frac{1}{3}\times 1\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行、面面垂直的判定定理及性质定理应用。
2. 核心方法：中位线转化线线平行；面面垂直转化为线面垂直求高。
3. 避坑指南：证明线面平行时，必须交代已知直线不在平面内（$VB\not\subset$ 平面 $MOC$）；证明面面垂直时，需说明交线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题标准题型。
2. 结论推广: 含有互相垂直面的几何体中，通常在一个面内作交线的垂线来寻找整个几何体的高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

𝑉𝐵∥平面𝑀𝑂𝐶；平面𝑀𝑂𝐶⟂平面𝑉𝐴𝐵；三棱锥𝑉−𝐴𝐵𝐶的体积为√33.

类题演练(Links)

• 2016-北京卷文-18
• 2022-高考北京卷-17
• 2025-北京卷-14 填-多面体体积