2015-北京卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划问题。通过作图确定可行域，利用目标函数的几何意义（截距），通过平移直线法寻找最优解对应的顶点。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 若 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y⩽0\\ x+y⩽1\\ x⩾0\end{array}$，则 $z=x+2y$ 的最大值为 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：在坐标系中画出不等式组确定的平面区域（可行域）。
2. 确定目标函数的几何意义：将 $z=x+2y$ 转化为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。可见 $z$ 的最大值对应直线在 $y$ 轴上的截距最大值。
3. 寻找最优解：平移直线 $x+2y=0$，观察其在可行域内向上平移至哪个顶点时 $z$ 最大。
4. 计算最值：求出该顶点的坐标，代入目标函数计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：画出可行域 不等式组表示的区域是以 $x-y=0$，$x+y=1$ 和 $x=0$ 为边界的三角形区域。

• 边界线 $x-y=0$ 经过原点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
• 边界线 $x+y=1$ 经过 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。
• 边界线 $x=0$ 即为 $y$ 轴。

第二步：求出顶点坐标 通过联立方程组求得三个顶点：

1. 联立 $x=0$ 与 $x-y=0⟹A(0,0)$
2. 联立 $x=0$ 与 $x+y=1⟹B(0,1)$
3. 联立 $x-y=0$ 与 $x+y=1⟹2x=1⟹C(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

第三步：目标函数平移分析 目标函数为 $z=x+2y$，化为截距式 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。 该直线的斜率为 $-\frac{1}{2}$。在坐标系中向上平移直线，易知经过点 $B(0,1)$ 时，直线在 $y$ 轴上的截距最大，此时 $z$ 取得最大值。

第四步：代入计算 将 $B(0,1)$ 代入目标函数： $z_{max}=0+2\times 1=2$

故选：D。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心步骤：画区域 $\to$ 找顶点 $\to$ 移直线 $\to$ 求最值。
2. 快速判断：对于形如 $z=Ax+By$ 的目标函数，若 $B>0$，则 $z$ 最大对应直线向上平移的最远点；若 $B<0$，则对应向下平移的最远点。
3. 避坑指南：作图要相对准确，尤其是目标函数直线斜率与可行域边界斜率的大小关系，决定了哪个顶点是最优解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于简单的三角形可行域，也可以将三个顶点坐标全部代入 $z$，通过比较数值大小直接得出结论。
• 变式思考：若要求 $z=x^2+y^2$ 的最大值，其几何意义是什么？ (提示：表示可行域内的点到原点距离的平方，最大值对应距离原点最远的顶点。)

🔗【关联脉络】

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