2015-北京卷理-04 单-充分必要条件

本题导读

本题通过空间几何中线面、面面平行的位置关系，考查逻辑用语中充分条件与必要条件的判定。解题关键在于准确掌握面面平行的判定定理以及性质定理，并能通过反例排除不成立的逻辑方向。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 设 $\alpha ,\beta$ 是两个不同的平面，$m$ 是直线且 $m\subset \alpha$，“$m//\beta$”是“$\alpha //\beta$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性（$m//\beta ⟹\alpha //\beta$）：
   • 已知 $m\subset \alpha$ 且 $m//\beta$。
   • 考虑面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
   • 仅有一条直线 $m$ 平行于 $\beta$，无法确定 $\alpha$ 是否平行于 $\beta$。寻找反例：若 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，且 $m$ 平行于它们的交线，则满足条件但结论不成立。
2. 分析必要性（$\alpha //\beta ⟹m//\beta$）：
   • 已知 $\alpha //\beta$。根据面面平行的定义，两个平面没有公共点。
   • 因为 $m\subset \alpha$，所以直线 $m$ 与平面 $\beta$ 也一定没有公共点。
   • 根据线面平行的定义，没有公共点即为平行，故结论成立。
3. 综合判定：根据“充分性不成立，必要性成立”得出结论。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性 已知 $m\subset \alpha ,m//\beta$。 当平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交时，设交线为 $l$。若直线 $m$ 满足 $m//l$ 且 $m\subset \alpha$，则根据线面平行的判定定理，必有 $m//\beta$。 但此时平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 并不平行。 因此，“$m//\beta$”推不出“$\alpha //\beta$”，即充分性不成立。

第二步：验证必要性 已知 $\alpha //\beta$。 根据面面平行的性质，两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 没有任何公共点。 由于 $m\subset \alpha$，则直线 $m$ 上的所有点都在平面 $\alpha$ 内。 所以直线 $m$ 与平面 $\beta$ 也没有任何公共点。 由线面平行的定义可知，$m//\beta$。 因此，“$\alpha //\beta$”可以推出“$m//\beta$”，即必要性成立。

第三步：得出结论 综上所述，“$m//\beta$”是“$\alpha //\beta$”的必要而不充分条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心模型：
   • 面面平行的判定：需“线线相交”且“线面平行”。
   • 面面平行的性质：面面平则线面平（面内任意线都平行于另一面）。
2. 解题技巧：在判定充分/必要条件时，若正面推导困难，优先尝试寻找反例（尤其是相交或垂直的特殊位置）。
3. 避坑指南：不要混淆判定定理。很多同学误以为面内有一条线平行另一面则面面平行，忽略了“两条相交直线”这一关键约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将条件改为“$\alpha$ 内有两条相交直线 $m,n$ 满足 $m//\beta ,n//\beta$”，则它是 $\alpha //\beta$ 的什么条件？ (提示：根据面面平行判定定理，此时为充要条件。)
• 能力提升：掌握空间位置关系的逻辑关系链：面面平行 $⟹$ 线面平行 $⟹$ 线线平行。反向推导通常需要额外的约束条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2018-北京卷文-04 单-等比数列
• 2023-北京卷-08 单-充要条件
• 2013年北京卷理-14