2015-四川卷文-04 单-充要条件

本题导读

对数函数单调递增且 ${\log }_{2}b>0⟺b>1$，两条件互相推出，为充要条件，选 A。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 设 $a$，$b$ 为正实数，则"$a>b>1$"是"${\log }_{2}a>{\log }_{2}b>0$"的 ()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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对数函数单调递增且 ${\log }_{2}b>0⟺b>1$，两条件互相推出，为充要条件，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：$a>b>1$ 时，由 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，得 ${\log }_{2}a>{\log }_{2}b$；又 $b>1⟺{\log }_{2}b>{\log }_{2}1=0$，故 ${\log }_{2}a>{\log }_{2}b>0$ 成立。

必要性：${\log }_{2}a>{\log }_{2}b>0$ 时，由单调性得 $a>b$；由 ${\log }_{2}b>0={\log }_{2}1$ 得 $b>1$，故 $a>b>1$ 成立。

两方向都成立，是充要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数单调性 + 充要条件的双向判定

核心方法：分别验证”正向推出”与”反向推出”，注意 ${\log }_{2}b>0⟺b>1$

避坑指南：${\log }_{2}x>0$ 等价于 $x>1$（底大于 1），这一转化是双向推理的枢纽；漏掉反方向推导会误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件关系与指对数结合是四川卷常见小题，如 2016 年四川卷理第 7 题、2011 年四川卷理第 5 题同型。

结论推广：一般地，$f$ 在定义域上严格单调时，$f(a)>f(b)$ 与 $a>b$（同向）互为充要条件，“函数值比大小”类条件题多可双向转化。

方法推广：判断充要条件坚持”两次独立推导”，并用单调性把函数值不等式还原为自变量不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2016-四川卷理-07
• 2011-四川卷理-05