2015-四川卷文-07 单-双曲线渐近线

本题导读

$c^2=1+3=4$，右焦点 $(2,0)$；直线 $x=2$ 与渐近线 $y=\pm \sqrt{3}x$ 交于 $(2,\pm 2\sqrt{3})$，$|AB|=4\sqrt{3}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 过双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $A$，$B$ 两点，则 $|AB|=$ ()

A. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. $4\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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$c^2=1+3=4$，右焦点 $(2,0)$；直线 $x=2$ 与渐近线 $y=\pm \sqrt{3}x$ 交于 $(2,\pm 2\sqrt{3})$，$|AB|=4\sqrt{3}$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $a^2=1$，$b^2=3$，得 $c^2=a^2+b^2=4$，右焦点为 $(2,0)$，所过直线为 $x=2$。

双曲线的渐近线为 $y=\pm \sqrt{3}x$，代入 $x=2$ 得两交点 $A(2,2\sqrt{3})$，$B(2,-2\sqrt{3})$。

故 $|AB|=2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点、渐近线与通径 related 弦长计算

核心方法：先定焦点坐标，再联立通径直线与渐近线求交点纵坐标

避坑指南：通径（过焦点垂直于实轴的弦）与渐近线交点的纵坐标为 $\pm \frac{bc}{a}$，本题 $\pm \frac{\sqrt{3}\cdot 2}{1}=\pm 2\sqrt{3}$；只算单侧长 $2\sqrt{3}$ 会误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线渐近线与焦点弦的组合是圆锥曲线常规小题，2015、2013、2012 年四川卷理多次出现同型题。

结论推广：一般地，过焦点垂直于实轴的直线交两渐近线的弦长为 $\frac{2bc}{a}$；对椭圆抛物线中类似的”定直线截线”也可套用对称性快速求长。

方法推广：这类题抓住三个量：焦点横坐标 $c$、渐近线斜率 $\pm \frac{b}{a}$、上下交点关于 $x$ 轴对称，弦长即纵坐标差。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-5
• 2013年四川卷理-6