2015-四川卷文-16 解-等比数列

本题导读

由 $a_n=2a_{n-1}$ 得 $\{a_n\}$ 为等比数列，再由等差中项条件 $a_1+a_3=2(a_2+1)$ 解得 $a_1=2$，故 $a_n=2^n$，$T_n=1-\frac{1}{2^n}$。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$（$n=1,2,3,\cdots$）的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n=2a_n-a_1$，且 $a_1$，$a_2+1$，$a_3$ 成等差数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 记数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求 $T_n$.

🔍【思路分析】

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由 $a_n=2a_{n-1}$ 得 $\{a_n\}$ 为等比数列，再由等差中项条件 $a_1+a_3=2(a_2+1)$ 解得 $a_1=2$，故 $a_n=2^n$，$T_n=1-\frac{1}{2^n}$。

✅【答案】

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$a_n=2^n$；$T_n=1-\frac{1}{2^n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-a_1-(2a_{n-1}-a_1)=2a_n-2a_{n-1}$，

整理得 $a_n=2a_{n-1}$（$n\ge 2$），所以 $\{a_n\}$ 是公比为 2 的等比数列。

于是 $a_2=2a_1$，$a_3=4a_1$。由 $a_1$，$a_2+1$，$a_3$ 成等差数列，得 $a_1+a_3=2(a_2+1)$，即 $a_1+4a_1=4a_1+2$，解得 $a_1=2$。

故 $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。

(2) $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}$，数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。

$T_n=\frac{\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系求数列通项、等差中项、等比数列求和

核心方法：作差法 $a_n=S_n-S_{n-1}$ + 等差中项定首项 + 等比求和公式

避坑指南：作差只对 $n\ge 2$ 成立，$a_1$ 要用等差中项条件另求，直接把 $n=1$ 代入作差式会丢掉首项信息；等比求和公式 $q\ne 1$ 的分母 $1-\frac{1}{2}$ 别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列解答题首题考查”和与项”关系是四川卷传统，2015 年四川卷理第 16 题前问相同（理再求 $|T_n-1|<\frac{1}{1000}$ 的最小 $n$），2013、2012 年四川卷理第 16 题同型。

结论推广：把（Ⅱ）延伸即得理科版设问：$1-\frac{1}{2^n}>1-\frac{1}{1000}⟺2^n>1000⟺n\ge 10$，两问可以互为训练。

方法推广："$S_n=k{a}_n+b$"型一律先作差定结构（等比或等差），再用附加条件定初始值，最后按标准公式求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-16 解-数列递推
• 2013年四川卷理-16