2015-四川卷理-09 单-二次函数

本题导读

本题是二次函数单调性与基本不等式的综合应用题。核心在于根据二次函数在给定区间上的单调递减性质，推导出关于参数 $m,n$ 的约束条件，并分类讨论开口方向，最终利用基本不等式求解 $mn$ 的最大值。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 如果函数 $f(x)=\frac{1}{2}(m-2)x^2+(n-8)x+1$ ($m\ge 0,n\ge 0$) 在区间 $[\frac{1}{2},2]$ 上单调递减，则 $mn$ 的最大值为 ()

A. $16$　　　　　　B. $18$　　　　　　C. $25$　　　　　　D. $\frac{81}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析二次函数结构：$f(x)$ 是二次函数（当 $m=2$ 时为一次函数）。其单调性由开口方向和对称轴 $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{n-8}{m-2}$ 共同决定。
2. 分类讨论开口方向：
   • 情况 1：开口向上 ($m>2$)。要在区间左侧单调递减，对称轴必须在区间右侧或重合，即 $x_0\ge 2$。
   • 情况 2：开口向下 ($m<2$)。要在区间内单调递减，对称轴必须在区间左侧或重合，即 $x_0\le \frac{1}{2}$。
   • 情况 3：一次函数 ($m=2$)。此时 $f(x)=(n-8)x+1$，单调递减需 $n-8\le 0$，即 $n\le 8$。
3. 转化约束条件：将关于 $x_0$ 的不等式转化为关于 $m,n$ 的线性或非线性关系。
4. 求解最值：在满足条件的区域内，利用基本不等式 $ab\le (\frac{a+b}{2}{)}^2$ 求 $mn$ 的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分类讨论单调性条件 对称轴方程为 $x_0=\frac{8-n}{m-2}$。

• 当 $m>2$ 时，抛物线开口向上。 若在 $[\frac{1}{2},2]$ 上递减，则对称轴 $x_0\ge 2$： $\frac{8-n}{m-2}\ge 2⟹8-n\ge 2m-4⟹2m+n\le 12$。 由基本不等式：$mn=\frac{1}{2}(2m\cdot n)\le \frac{1}{2}{\left(\frac{2m+n}{2}\right)}^2\le \frac{1}{2}\cdot 6^2=18$。 等号成立条件：$2m=n=6$，即 $m=3,n=6$，符合 $m>2$。

• 当 $0\le m<2$ 时，抛物线开口向下。 若在 $[\frac{1}{2},2]$ 上递减，则对称轴 $x_0\le \frac{1}{2}$： $\frac{8-n}{m-2}\le \frac{1}{2}$。注意此时 $m-2<0$，乘过去需变号： $8-n\ge \frac{1}{2}(m-2)⟹16-2n\ge m-2⟹m+2n\le 18$。 由基本不等式：$mn=\frac{1}{2}(m\cdot 2n)\le \frac{1}{2}{\left(\frac{m+2n}{2}\right)}^2\le \frac{1}{2}\cdot 9^2=\frac{81}{2}=40.5$。 等号成立条件：$m=2n=9$，即 $m=9,n=4.5$。但此时 $m=9$ 不符合前提 $m<2$，舍去。 在 $m<2$ 范围内，由于 $m+2n\le 18$，当 $m$ 取最大值 $2$ 时，$2n\approx 16⟹n\approx 8$，此时 $mn\approx 16<18$。

• 当 $m=2$ 时，$f(x)=(n-8)x+1$。 若单调递减，则 $n-8\le 0⟹n\le 8$。 此时 $mn\le 2\times 8=16$。

第二步：综合结论 综合以上讨论，$mn$ 的最大值为 $18$。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二次函数对称轴与单调区间的关系；基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”原则。
• 核心方法：分类讨论法。系数含参时，必须首先判定二次项系数的正负以确定开口方向。
• 避坑指南：基本不等式求出的最大值必须检查“等号成立条件”是否落在当前分类的定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 在区间 $[p,q]$ 上的单调性：

• 若 $a>0$，递减则 $-\frac{b}{2a}\ge q$；
• 若 $a<0$，递减则 $-\frac{b}{2a}\le p$。

• 相关知识点：一元二次不等式的恒成立问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-09 单-奇偶性定义与判定
• 2013年四川卷理-9
• 2012年四川卷理-9