2015-四川卷理-14 填-异面直线角

本题导读

本题是立体几何与代数最值的综合填空压轴题。核心在于利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，将异面直线所成角的余弦值转化为关于动点参数的函数，最后通过代数手段（如辅助函数或单调性分析）求出最大值。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 如图，四边形 $ABCD$ 和 $ADPQ$ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 $M$ 在线段 $PQ$ 上，$E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点.设异面直线 $EM$ 与 $AF$ 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系：
   • 因为平面 $ABCD\perp$ 平面 $ADPQ$，且 $ABCD$ 与 $ADPQ$ 均为正方形，可以 $D$ 为原点，$DA,DC,DP$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立坐标系。
   2. 确定各点坐标：
   • 设正方形边长为 1。
   • $A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0)$。
   • $E(1,0.5,0),F(0.5,1,0)$（根据中点定义）。
   • $P(0,0,1),Q(1,0,1)$。动点 $M$ 在 $PQ$ 上，设 $M(t,0,1)$，其中 $t\in [0,1]$。
2. 向量化表达：
   • 求出向量 $\vec{u}=\overrightarrow{AF}$ 和 $\vec{v}=\overrightarrow{EM}$。
3. 建立余弦函数式：
   • 利用公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ 得到关于参数 $t$ 的函数表达式。
4. 求解最值：
   • 对方程进行化简，分析其在 $t\in [0,1]$ 上的单调性或利用换元法配合基本不等式求出最大值。

✅【答案】

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$\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立坐标系并表示向量 以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系 $D-xyz$。设正方形边长为 1。 则 $A(1,0,0),F(0.5,1,0),E(1,0.5,0)$。 动点 $M$ 在 $PQ$ 上，设 $M(t,0,1)$，其中 $0\le t\le 1$。 向量 $\overrightarrow{AF}=(-0.5,1,0)$； 向量 $\overrightarrow{EM}=(t-1,-0.5,1)$。

第二步：列出余弦值公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{EM}|}{|\overrightarrow{AF}|\cdot |\overrightarrow{EM}|}=\frac{|-0.5(t-1)-0.5|}{\sqrt{(-0.5{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{(t-1{)}^2+(-0.5{)}^2+1^2}}$ 化简分子：$|-0.5t+0.5-0.5|=|0.5t|=0.5t$（因为 $t\ge 0$）。 化简分母：$\sqrt{1.25}\cdot \sqrt{(t-1{)}^2+1.25}=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \sqrt{(t-1{)}^2+\frac{5}{4}}$。 则： $\cos \theta =\frac{0.5t}{\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \sqrt{(t-1{)}^2+\frac{5}{4}}}=\frac{t}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{t^2-2t+\frac{9}{4}}}$

第三步：求最大值 设 $f(t)=\frac{t^2}{5(t^2-2t+\frac{9}{4})}$，为了方便，取倒数分析： $\frac{1}{f(t)}=5\cdot \frac{t^2-2t+\frac{9}{4}}{t^2}=5(1-\frac{2}{t}+\frac{9}{4t^2})$ 设 $x=\frac{1}{t}$ ($x\ge 1$)，则内层函数 $g(x)=\frac{9}{4}{x}^2-2x+1$。 这是一个开口向上的二次函数，对称轴 $x=\frac{2}{2\cdot 2.25}=\frac{4}{9}<1$。 所以在 $x\ge 1$ 时，$g(x)$ 随 $x$ 增大而增大。 当 $x=1$（即 $t=1$，点 $M$ 重合于 $Q$）时，$g(x)$ 取得最小值： $g(1)=2.25-2+1=1.25=\frac{5}{4}$。 此时倒数最小，原函数 $f(t)$ 最大： $f(1)=\frac{1}{5\cdot \frac{5}{4}}=\frac{4}{25}$。 所以 $\cos {\theta }_{max}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$。

答案：$\frac{2}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间向量处理异面直线夹角；面面垂直背景下的建系技巧。
• 核心方法：坐标法。将几何问题彻底代数化，是处理动点最值问题的标准流程。
• 避坑指南：
  1. 异面直线夹角范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$，所以余弦值公式要加绝对值。
  2. 函数最值求解时，注意自变量 $t$ 的取值范围约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若空间图形具备垂直结构（如长方体、垂直放置的正方形），建立坐标系通常比传统的几何作图法（平移直线）更具普适性。

• 相关知识点：直线与平面所成的角、二面角的向量求法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-14 填-直线的交点与定点问题
• 2013年四川卷理-14
• 2012年四川卷理-14