2015-天津卷文-02 单-线性规划

本题导读

可行域为三角形，顶点 $(0,0),(2,1),(2,3)$，$z=3x+y$ 在 $(2,3)$ 取最大值 9，选 C。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件

$\{\begin{array}{l}x-2\le 0,\\ x-2y\le 0,\\ x+2y-8\le 0,\end{array}$

则目标函数 $z=3x+y$ 的最大值为 ()

A. 7　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 9　　　　　　　D. 14

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可行域为三角形，顶点 $(0,0),(2,1),(2,3)$，$z=3x+y$ 在 $(2,3)$ 取最大值 9，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线围成的可行域顶点：$(0,0)$、$(2,1)$（$x=2$ 与 $x=2y$ 交点）、$(2,3)$（$x=2$ 与 $x+2y=8$ 交点）。

直线 $x=2y$ 与 $x+2y=8$ 的交点 $(4,2)$ 不满足 $x\le 2$，不在可行域内。

逐一计算：$z(0,0)=0$，$z(2,1)=7$，$z(2,3)=9$，故最大值为 9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的可行域与目标函数最值

核心方法：求出可行域全部顶点，逐点代入目标函数比较

避坑指南：三直线两两相交共 3 个交点，但其中 $(4,2)$ 不满足全部约束，必须逐一检验后再比较最值，直接取交点代入会误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷高频的”三条约束线型”线性规划小题，与 2012-2014 年天津卷理第 2 题同构。

结论推广：目标函数含参数 $z=3x+my$ 时，需按 $m$ 的符号讨论直线的倾斜方向，最值顶点可能随之改变。

方法推广：线性规划问题坚持”画域—找顶点—验约束—算最值”四步，杜绝未检验就代入的交点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

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