2015-天津卷文-07 单-偶函数比大小

本题导读

偶函数给出 $m=0$，$f(x)=2^{|x|}-1$ 在 $[0,+\infty )$ 递增，三个自变量化归为 ${\log }_{2}3,{\log }_{2}5,0$ 比大小，得 $c<a<b$，选 B。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)=2^{|x-m|}-1$（$m$ 为实数）为偶函数，记 $a=f({\log }_{0.5}3)$，$b=f({\log }_{2}5)$，$c=f(2m)$，则 $a,b,c$ 的大小关系为 ()

A. $a<b<c$　　　　　B. $c<a<b$　　　　　C. $a<c<b$　　　　　D. $c<b<a$

🔍【思路分析】

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偶函数给出 $m=0$，$f(x)=2^{|x|}-1$ 在 $[0,+\infty )$ 递增，三个自变量化归为 ${\log }_{2}3,{\log }_{2}5,0$ 比大小，得 $c<a<b$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 为偶函数，则 $|x-m|$ 为偶函数，得 $m=0$，故 $f(x)=2^{|x|}-1$，且 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。

$c=f(0)=2^0-1=0$。

$a=f({\log }_{0.5}3)=f(-{\log }_{2}3)=f({\log }_{2}3)=2^{{\log }_{2}3}-1=3-1=2$（偶函数把负自变量翻正）。

$b=f({\log }_{2}5)=2^{{\log }_{2}5}-1=5-1=4$。

比较 $0<{\log }_{2}3<{\log }_{2}5$ 及单调性，得 $c<a<b$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的定义；指数与对数的互化；单调性比较大小

核心方法：先由奇偶性定参数，再把三个函数值化到同一单调区间上比较

避坑指南：${\log }_{0.5}3<0$，须先借助偶函数把自变量变成 ${\log }_{2}3>0$ 再比较；$2^{{\log }_{2}N}=N$ 是本题化简的核心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷”抽象性质 + 具体函数值比较”的常客，2012、2013 年天津卷理第 7 题为同型题。

结论推广：把底数 2 换成 $0<a<1$ 时，$[0,+\infty )$ 上的单调性反向，但”翻正自变量再比较”的流程不变。

方法推广：比较函数值大小的通用路线：定参数 → 化解析式 → 统一单调区间 → 化自变量为可比形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

• 2015-天津卷理-7
• 2013年天津卷理-7
• 2012年天津卷理-7