2015-天津卷理-07 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数奇偶性的应用以及指数、对数的大小比较。核心在于通过奇偶性定义确定参数 $m$，化简函数解析式，再利用函数的单调性比较不同自变量下的函数值。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)=2^{|x-m|}-1$（$m$ 为实数）为偶函数，记 $a=f({\log }_{0.5}3)$，$b=f({\log }_{2}5)$，$c=f(2m)$，则 $a,b,c$ 的大小关系为 ()

A. $a<b<c$　　B. $a<c<b$　　C. $c<a<b$　　D. $c<b<a$

🔍【思路分析】

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1. 确定参数 $m$：利用偶函数的定义 $f(x)=f(-x)$。对于 $f(x)=2^{|x-m|}-1$，其图象关于 $x=m$ 对称。若为偶函数，则对称轴必须是 $y$ 轴，即 $m=0$。
2. 化简解析式：确定 $f(x)=2^{|x|}-1$。观察发现，该函数在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。
3. 转化自变量：
   • $c=f(0)$。
   • $a=f(|{\log }_{0.5}3|)$。利用换底公式和绝对值性质简化：$|{\log }_{0.5}3|=|-{\log }_{2}3|={\log }_{2}3$。
   • $b=f(|{\log }_{2}5|)=f({\log }_{2}5)$。
4. 比较大小：比较 $0,{\log }_{2}3,{\log }_{2}5$ 的大小，根据 $f(x)$ 在正半轴的增减性得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $m$ 的值 因为 $f(x)=2^{|x-m|}-1$ 是偶函数， 所以 $f(x)=f(-x)$ 对任意 $x$ 恒成立，即 $|x-m|=|-x-m|$。 由此得 $m=0$。 则 $f(x)=2^{|x|}-1$。

第二步：化简 $a,b,c$

• 计算 $c$： $c=f(2\times 0)=f(0)=2^0-1=0$。
• 计算 $a$： $a=f({\log }_{0.5}3)=f({\log }_{2^{-1}}3)=f(-{\log }_{2}3)$。 由偶函数性质 $f(-x)=f(x)$，得 $a=f({\log }_{2}3)=2^{{\log }_{2}3}-1=3-1=2$。
• 计算 $b$： $b=f({\log }_{2}5)=2^{{\log }_{2}5}-1=5-1=4$。

第三步：比较结论 显而易见，$0<2<4$，即 $c<a<b$。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：偶函数的图象对称特征（$f(|x+m|)$ 型函数的对称轴为 $x=-m$）；指数恒等式 $a^{{\log }_{a}N}=N$。
• 核心方法：性质转化法。通过偶函数性质将所有自变量转化到同一单调区间（如正半轴）内进行比较。
• 避坑指南：注意对数底数小于 1 时的符号转换，${\log }_{0.5}3$ 是负数，取绝对值后变为 ${\log }_{2}3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 函数 $y=f(|x|)$ 必然是偶函数；函数 $y=|f(x)|$ 不一定是偶函数。

• 相关知识点：对数函数的单调性比较、复合函数的单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2013年天津卷理-7
• 2012年天津卷理-7
• 2019-天津卷文-07 单-三角函数性质