2015-安徽卷文-05 单-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划问题，通过几何直观求线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 已知 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0,\\ x+y-4\le 0,\\ y\ge 1,\end{array}$ 则 $z=-2x+y$ 的最大值是 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $-5$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 根据约束条件画出可行域。
2. 将目标函数变形为直线方程的斜截式 $y=2x+z$，观察截距变化确定最值点。
3. 求出可行域的顶点坐标，代入目标函数验证。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域，边界直线分别为 $x-y=0$，$x+y-4=0$，$y=1$。 联立得可行域的三个顶点：

• 由 $y=1$ 和 $x-y=0$ 得点 $(1,1)$；
• 由 $y=1$ 和 $x+y-4=0$ 得点 $(3,1)$；
• 由 $x-y=0$ 和 $x+y-4=0$ 得点 $(2,2)$。 目标函数 $z=-2x+y$，当直线经过点 $(3,1)$ 时，纵截距最小（在此形式下对应 $z$ 取极值，或直接代入）：
• 代入 $(1,1)$：$z=-2(1)+1=-1$；
• 代入 $(3,1)$：$z=-2(3)+1=-5$；
• 代入 $(2,2)$：$z=-2(2)+2=-2$。 故最大值为 $-1$（在点 $(1,1)$ 处取得）。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点法（顶点法）。
3. 避坑指南：作图需准确，防止因交点算错导致最值代入错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规题。
2. 结论推广: 推广至非线性目标函数或更复杂的多边形可行域。

🔗【关联脉络】

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A

类题演练(Links)

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