2015-安徽卷文-09 单-三视图

本题导读

本题考查由三视图求四面体的表面积。解题关键在于根据三视图的特征准确判断四面体的形状及各棱长。通过观察三视图的对称性，将几何体还原为空间中的直观图，进而分别计算四个侧面的面积。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ()

A. $1+\sqrt{3}$　　　　　B. $2+\sqrt{3}$　　　　　C. $1+2\sqrt{2}$　　　　　D. $2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析三视图特征：
   • 正视图：底边为 2，斜边为 $\sqrt{2}$ 的等腰三角形，高为 1。
   • 侧视图：直角三角形，两直角边长分别为 1。
   • 俯视图：斜边为 2 的等腰直角三角形。
2. 还原直观图： 该四面体可以嵌入一个长方体（或正方体的一部分）中。根据三视图，该四面体有两个面是相互垂直的等腰直角三角形，另外两个面是等边三角形。 具体结构为：底面是一个直角边为 $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，侧面有一条侧棱垂直于底面。
3. 计算各面面积：
   • 计算两个等腰直角三角形的面积。
   • 计算两个等边三角形的面积。
4. 累加求和：得出总表面积。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何体尺寸 由俯视图知，底面 $△BCD$ 是一个底边为 2、高为 1 的等腰三角形。根据勾股定理，其腰长为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 由侧视图知，四面体的高为 1，且顶点在底面的射影位于底边的一个顶点上（即存在一条侧棱垂直于底面）。

第二步：分析四个面的形状 该四面体四个面的边长分布如下：

• 面 1（$△BCD$）：边长为 $\sqrt{2},\sqrt{2},2$。这是一个等腰直角三角形。
• 面 2（$△ABD$）：由于侧棱垂直底面，这也是一个边长为 $1,1,\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形。
• 面 3（$△ABC$）：边长分别为 $\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}$（由勾股定理算得侧棱长）。这是一个等边三角形。
• 面 4（$△ACD$）：边长分别为 $\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}$。这也是一个等边三角形。

第三步：计算面积

• $S_{△BCD}=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=1$
• $S_{△ABD}=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=1$ （注：根据三视图对齐关系，这两个直角三角形面积均为 1）
• $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $S_{△ACD}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$

第四步：求总面积 $S=1+1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$。

故选：B。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 模型识别：此类三视图对应的四面体往往是正方体切下的一个角（墙角模型）。
2. 计算细节：还原后，务必检查每一条棱在三个视图中的投影长度是否与原图一致。
3. 避坑指南：很多同学容易把侧面误判为普通的直角三角形而漏算等边三角形的面积，建议利用勾股定理求出所有棱长后再定型。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若求该四面体的体积，$V=\frac{1}{3}{S}_{底}h=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$。
• 变式思考：若将侧视图中的直角三角形斜边改为 $\sqrt{5}$，会对表面积产生什么影响？ (提示：这说明四面体的高发生了变化，需重新计算侧棱长。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2014-安徽卷理-07 单-直观图的还原
• 2013年安徽卷理-14
• 2012-安徽卷理-12