2015-安徽卷文-10 单-三次函数

本题导读

本题主要考查三次函数图象与系数符号的关系，通过导数与单调性、极值点的关系确定各个参数的正负。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是 ()

A. $a>0,b<0,c>0,d>0$　B. $a>0,b<0,c<0,d>0$

C. $a<0,b<0,c>0,d>0$　D. $a>0,b>0,c>0,d<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从图象的右端上升趋势可判断 $a$ 的符号。
2. 从图象与 $y$ 轴交点位置可判断 $d$ 的符号。
3. 结合导函数 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ 的两个极值点 $x_1,x_2$ 的正负及韦达定理，判断 $b$ 和 $c$ 的符号。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 由图象可知，当 $x\to +\infty$ 时，$y\to +\infty$，故 $a>0$；
• 图象与 $y$ 轴的交点在正半轴上，即 $f(0)=d>0$；
• 求导得 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，由图象知导函数的两个极值点满足 $0<x_1<x_2$；
• 因而两根之和 $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$，由于 $a>0$，可得 $b<0$；
• 两根之积 $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$，由于 $a>0$，可得 $c>0$。 综上，$a>0,b<0,c>0,d>0$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次函数图象特征与导数几何意义。
2. 核心方法：定性分析结合极值点分布。
3. 避坑指南：极值点的横坐标对应导函数方程的根，切勿直接将图象拐点当作原函数系数的简单判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数图象识别的经典题型。
2. 结论推广: 推广至一般多项式函数图象与导数符号的对应规律。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2013年安徽卷理-10
• 2013年安徽卷理-8
• 2009-安徽卷理-06