2015-安徽卷理-04 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程及其几何性质。解题关键在于根据方程形式判断焦点所在的坐标轴，并准确求出渐近线方程。这是一道考查圆锥曲线基础定义的经典题。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 下列双曲线中，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y=\pm 2x$ 的是 ()

A. $x^2-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$

C. $\frac{y^2}{4}-x^2=1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $y^2-\frac{x^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断焦点位置：在双曲线标准方程中，若 $y^2$ 项的系数为正，则焦点在 $y$ 轴上；若 $x^2$ 项的系数为正，则焦点在 $x$ 轴上。
2. 求渐近线方程：将双曲线标准方程右边的 $1$ 改为 $0$，即可直接解出渐近线方程。
3. 匹配条件：从满足焦点在 $y$ 轴（C、D选项）的方程中，找出渐近线为 $y=\pm 2x$ 的那一项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定焦点位置

• A 选项：$x^2-\frac{y^2}{4}=1$，焦点在 $x$ 轴上，排除。
• B 选项：$\frac{x^2}{4}-y^2=1$，焦点在 $x$ 轴上，排除。
• C 选项：$\frac{y^2}{4}-x^2=1$，$y^2$ 项系数为正，焦点在 $y$ 轴上。
• D 选项：$y^2-\frac{x^2}{4}=1$，$y^2$ 项系数为正，焦点在 $y$ 轴上。

第二步：计算渐近线方程

• 对于 C 选项：令 $\frac{y^2}{4}-x^2=0$，得 $\frac{y^2}{4}=x^2$，即 $y^2=4x^2$。 解得 $y=\pm 2x$。符合题意。
• 对于 D 选项：令 $y^2-\frac{x^2}{4}=0$，得 $y^2=\frac{x^2}{4}$。 解得 $y=\pm \frac{1}{2}x$。不符合题意。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 焦点轴判定技巧：看方程中哪个变量的平方项前面是正号，焦点就在哪个轴上。
2. 渐近线求法“万能公式”： 将标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 中的 $1$ 换成 $0$，即可得到 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 或 $y=\pm \frac{a}{b}x$。这种方法可以有效避免记混 $a$ 和 $b$ 的位置。
3. 易错点纠正：很多同学容易把焦点在 $y$ 轴的双曲线渐近线斜率记反。通过“令右边为0”的代数推导是最稳妥的避坑指南。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若已知渐近线为 $y=\pm kx$，则可设双曲线方程为 $k^2{x}^2-y^2=\lambda$ 或 $y^2-k^2{x}^2=\lambda$（$\lambda \ne 0$）。
• 能力提升：理解离心率 $e$ 与渐近线斜率的关系。对于焦点在 $y$ 轴的双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，渐近线斜率绝对值 $k=\frac{a}{b}$，则 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+(\frac{1}{k}{)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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C

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