2015-安徽卷理-09 单-函数图象

本题导读

本题考查根据函数图象判断解析式中参数的正负。解题关键在于提取图象的几何特征，如垂直渐近线的位置、与坐标轴的交点位置，并将其转化为解析式中的代数约束条件。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{ax+b}{(x+c{)}^2}$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是 ()

A. $a>0,b>0,c<0$　　　　　　　　B. $a<0,b>0,c>0$

C. $a<0,b>0,c<0$　　　　　　　　D. $a<0,b<0,c<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析渐近线（判定 $c$）：观察图象中的虚线（垂直渐近线）。函数分母为 0 处即为渐近线 $x=-c$ 的位置。
2. 分析 $y$ 轴截距（判定 $b$）：观察图象与 $y$ 轴的交点 $M$。计算 $f(0)$ 的符号，结合 $c^2$ 始终为正的特点判断 $b$。
3. 分析 $x$ 轴截距（判定 $a$）：观察图象与 $x$ 轴的交点 $N$。令分子 $ax+b=0$ 求出零点，结合已知 $b$ 的符号判断 $a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用垂直渐近线判断 $c$ 由解析式可知，函数在 $x=-c$ 处无定义，对应图象中的垂直渐近线。 图中显示渐近线在 $y$ 轴右侧，即 $-c>0$。 由此推得：$c<0$。

第二步：利用 $y$ 轴交点判断 $b$ 图象与 $y$ 轴的交点 $M$ 在 $x$ 轴上方，即 $f(0)>0$。 代入 $x=0$ 得：$f(0)=\frac{a(0)+b}{(0+c{)}^2}=\frac{b}{c^2}$。 因为 $c\ne 0$，所以 $c^2>0$。 由 $\frac{b}{c^2}>0$ 可得：$b>0$。

第三步：利用 $x$ 轴交点判断 $a$ 图象与 $x$ 轴的交点 $N$（零点）在 $x$ 轴正半轴，即 $x_N>0$。 令 $f(x)=0$，则 $ax+b=0$，解得 $x_N=-\frac{b}{a}$。 已知 $x_N>0$ 且由第二步知 $b>0$。 由 $-\frac{b}{a}>0⟹\frac{b}{a}<0$，可得：$a<0$。

综上所述，$a<0,b>0,c<0$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 图象分析三要素：定义域（看断点/渐近线）、截距（看与轴交点）、趋势（看无穷大处的表现）。
2. 特殊值法：在选择题中，直接观察 $x=0$ 或 $x\to \infty$ 的表现是最有效的提速手段。
3. 避坑指南：注意解析式中分母是平方项 $(x+c{)}^2$，这保证了在渐近线两侧函数值的符号趋势通常是一致的（同为正或同为负，本题中均趋于负无穷），这也可以辅助验证 $a$ 的正负。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若考虑 $x\to \infty$ 的极限情况，$f(x)\approx \frac{ax}{x^2}=\frac{a}{x}\to 0$。图象在远端趋于 $x$ 轴。
• 变式思考：如果图象在 $y$ 轴上的截距 $M$ 在下方，且渐近线在左侧，参数的正负会如何变化？ (提示：此时 $b<0,c>0$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

C

类题演练(Links)

• 2025-北京卷-04 单-指数函数伸缩变换
• 2018-全国卷III文-09 单-函数奇偶性
• 2018-全国卷III理-07 单-函数奇偶性